Отметим, что расчет контактной прочности в первом примере вел-
ся по силам деформирования, а во втором примере — по нормальным
контактным напряжениям. Очевидно, что оба расчета приведут к оди-
наковым результатам, в частности к одинаковым значениям коэффи-
циентов контактной прочности
ζ
.
Пример 3а.
Стальной упругий шарик из стали 40Х радиусом
R
= 5
мм вдавливается в упругое полупространство из отожженной
стали 45 силами: a)
P
= 3
кГ и б)
P
= 18
кГ.
Определить: останутся ли контактирующие тела при указанных
внешних нагрузках в упругом состоянии? Вычислить значения коэф-
фициентов контактной прочности
ζ
.
Решение.
Для отожженной стали 45 предел текучести
σ
s
1
=
= 35
кГ/мм
2
[6], а для стали 40Х
σ
s
2
= 70
кГ/мм
2
[1]. Модули упру-
гости обоих тел совпадают:
E
1
=
E
2
=
E
= 2
∙
10
4
кГ/мм
2
. Радиусы
кривизн шарика
R
2
= 5
мм, полупространства
R
1
=
∞
.
Имеем случай осесимметричной деформации, при которой пре-
дельные контактные напряжения
p
c
отвечают нижней границе ин-
тервалов (2), (3). Для полупространства получаем
p
c
1
= 2
,
571
×
×
σ
s
1
= 2
,
571
∙
35 = 90
кГ/мм
2
. При определении значения
p
c
для
шарика следует учесть влияние кривизны его поверхности на умень-
шение предельных контактных напряжений. Значение
p
c
2
для шарика
вычисляется по формуле (5):
p
c
2
= (2
,
571
−
2
a/R
)
σ
s
2
, где
B
= 2
a
—
линейный размер контактной области, а
а
— радиус контакта [4, 5].
Радиус
a
круговой площадки контакта (рис. 2,
б
), образующейся при
упругом вдавливании шарика в полупространство с силой
P
, опреде-
ляется по формуле Герца [3]:
a
= 0
,
88
3
p
2
RP/E
.
Случай a.
Определим радиус
a
круговой площадки упругого кон-
такта, образующейся при вдавливании шарика в полупространство с
силой
P
= 3
кГ:
a
= 0
,
88
∙
3
p
2
RP/E
= 0
,
88
∙
3
p
2
∙
5
∙
3
/
2
∙
10
4
= 0
,
111
мм
.
Используя для шарика значение
σ
s
2
= 70
кГ/мм
2
, получаем для
него по приведенной формуле значение предельных контактных на-
пряжений:
p
c
2
= 2
,
571
σ
s
2
−
2
σ
s
2
∙
a/R
=
= 2
,
571
∙
70
−
2
∙
70
∙
0
,
111
/
5 = 180
−
3
,
11 = 176
,
89
кГ/мм
2
.
Площадь контактной площадки
F
=
πa
2
=
π
∙
0
,
111
2
= 0
,
0387
мм
2
.
Определим действующие нормальные напряжения
p
0
c
=
P/F
=
= 3
/
0
,
0387 = 77
,
52
кГ/мм
2
. В итоге получаем
p
0
c
=77
,
52
кГ/мм
2
<p
c
1
=
= 90
кГ/мм
2
, т.е. в рассматриваемом случае полупространство, в ко-
торое вдавливается шарик, остается упругим. Тем более остается
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2012. № 4 109
