рой будут скользить частицы поверхностного слоя. При дальнейшем
уменьшении толщины упрочненного слоя
H
пластическая область
проникает в более мягкую подложку, тогда возникает рассмотрен-
ный выше случай (рис. 3,
б
), для которого получено полное решение
задачи.
Для существования пластической области в одном поверхностном
слое точное решение задачи пока не удалось получить. Поэтому зна-
чение предельных нагрузок
p
c
/
2
k
1
было определено энергетическим
методом, опирающимся на экстремальные принципы, с использовани-
ем численных методов решения оптимизационных задач [7]. В основе
применяемого метода лежит дискретизация деформируемой среды в
виде набора жестких треугольных блоков, удовлетворяющих кинема-
тическим условиям задачи (рис. 3,
б
). Диссипация работы пластиче-
ской деформации происходит на границах блоков из-за наличия разры-
вов тангенциальных компонент скоростей. Согласно экстремальным
принципам теории пластичности такие решения позволяют получить
верхнюю оценку контактных нагрузок, вызывающих начало пласти-
ческого течения [1].
Пластическая область была представлена пятью треугольными
блоками
1–5
(см. рис. 3,
б
). Неподвижная область, лежащая за их пре-
делами, обозначена цифрой 0. На том же рисунке приведен годограф
скоростей для рассматриваемого случая. Разрывы скоростей на гра-
ницах указанных блоков
1–5
и тела
0
отвечают на годографе отрезкам
1–2, 2–3, 3–0
и
0–2
, т.е. соответствуют парным сочетаниям номеров
блоков. Жесткий блок
1
, прилегающий к поверхности контактирующе-
го тела, движется со скоростью
0–1
при отсутствии проскальзывания
по контактной поверхности этого тела (зона прилипания).
Кинематическое поле линий скольжения (см. рис. 3,
б
) содержит в
качестве параметров задачи три угла:
α
,
β
и
ϕ
. Из рис. 3,
б
следует, что
связанный параметр
ϕ
= arctg(
B/
2
H
)
, т.е. угол
ϕ
полностью опре-
деляется заданием толщины упрочненного слоя
H/B
. Укажем диа-
пазон возможного изменения параметров
H/B
и
ϕ
:
0
6
H/B <
∞
,
π/
2
>
ϕ >
0
. Два других угла
α
и
β
могут служить параметрами мини-
мизации верхней оценки мощности работы пластической деформации,
оптимальный выбор которых позволяет получить минимальное откло-
нение расчетных предельных нагрузок от их фактических значений.
Из геометрических соображений получаем следующие диапазоны из-
менения параметров
α
и
β
:
0
6
α < π/
2+
ϕ
и
0
< β < π/
2
−
ϕ
+
α
[7].
Мощность диссипации энергии пластической деформации
W
опре-
деляется по формуле [7]
W
=
k
r
X
i
[
v
τ
]
i
l
i
,
(14)
100 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3
