Значение разрыва гидростатического давления (среднего напряже-
ния
σ
)
в точке
А
, лежащей на границе раздела сред, определяется по
формуле [2]
[
σ
] =
k
1
sin 2
ϕ
1
−
k
sin 2
ϕ,
(8)
следующей из кругов Мора, показанных на рис. 1,
в
.
Из формул (7) и (8) следует, что значение разрыва среднего напря-
жения [
σ
] на границе раздела сред с разными значениями пределов
текучести
σ
s
(или значений
k
) зависит от напряженного состояния в
рассматриваемой точке. При
ϕ
=
ϕ
1
=
π/
4
, т.е. при
|
τ
|
=
|
τ
xy
|
= 0
, из
формулы (8) получаем
|
[
σ
]
|
min
= (
k
1
−
k
)
, а при
|
τ
|
=
|
τ
xy
|
max
=
k
из
кругов Мора (см. рис. 1,
в
) находим
|
[
σ
]
|
max
=
p
k
2
1
−
k
2
.
На границе раздела сред напряжения
σ
x
так же, как и среднее
напряжение
σ
, терпят разрыв. Это видно из кругов Мора (см. рис. 1,
в
),
с помощью которых получаем следующее соотношение [2]:
[
σ
x
] = (
σ
0
x
−
σ
x
) = [
σ
] +
k
1
sin 2
ϕ
1
−
k
sin 2
ϕ
= 2[
σ
]
.
(9)
Учитывая непрерывность
σ
y
, отметим, что полученное соотноше-
ние (9) для разрывов ([
σ
x
] = 2[
σ
]) следует непосредственно из форму-
лы
σ
= (
σ
x
+
σ
y
)
/
2
, определяющей среднее напряжение
σ
при плоской
деформации жесткопластического тела.
Перейдем теперь к решению весьма важной задачи теории пла-
стичности: вдавливание плоского жесткого пуансона в пластическую
полуплоскость с поверхностным упрочненным слоем. Аналогичная
задача в упрощенной постановке — задача о вдавливании плоского
пуансона в пластически однородную полуплоскость относится к важ-
нейшим и наиболее востребованным решениям теории пластичности.
Решения указанной задачи приводятся буквально во всех учебниках и
монографиях по теории пластичности. В них приводятся два решения
указанной задачи: решение Л. Прандтля и решение Р. Хилла [1]. Оба
решения отвечают одним и тем же нормальным предельным контакт-
ным напряжениям (средним контактным давлениям)
p
c
= 2
k
(1 +
π/
2) = 2
,
57
∙
2
k,
(10)
но в них разные размеры пластической области и разная кинематика
процесса.
Оба указанных решения являются полными и точными решения-
ми теории пластичности, удовлетворяющими всем уравнениям плос-
кой деформации идеально-пластического тела. В решении Прандтля у
плоского основания вдавливаемого пуансона имеется жесткая область
в деформируемом теле, которая движется вместе с вдавливаемым пу-
ансоном. Эта область играет роль жесткого наконечника у вдавливае-
мого индентора. Во втором решении (решении Хилла) две пластиче-
ские области примыкают к двум угловым точкам вдавливаемого пуан-
92 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3
