ство
β
-линий в подложке — прямолинейно, а на границе раздела сред
происходит излом линий скольжения (см. рис. 2,
а
).
На участках
d
1
ma
и
d
2
na
в точках
m
и
n
границы раздела сред (см.
рис. 2,
а
)
τ
xy
=
k
и, следовательно,
ϕ
= 0
. Предельное значение угла
ϕ
1
=
±
ψ
получаем, приняв в формуле (7) напряжение
τ
xy
=
k
:
ψ
= 0
,
5 arccos(
k/k
1
)
,
(13)
где
ψ
— предельное значение угла
ϕ
1
в области
awra
упрочнен-
ного слоя. Угол
ϕ
1
в указанной области изменяется в интервале
−
π/
4
6
ϕ
1
6
−
ψ
или
ψ
6
ϕ
1
6
π/
4
.
Предельным значениям
ϕ
1
=
±
ψ
и
τ
xy
=
k
на границе раздела
сред отвечают предельные положения линий
β
1
и
β
в виде ломаных
amd
1
и
and
2
. Они выделяют жесткую область
amd
1
d
2
na
в виде “до-
мика” внутри пластической области
agd
1
d
2
fa
. Продолжение линий
скольжения в указанную область невозможно, так как это вызывает
нарушение статического условия
|
τ
xy
|
< k
. Угол
\
man
при вершине
a
этой области равен
2
ψ
.
Из формулы (13) следует, что при
k
=
k
1
,
ψ
= 0
, т.е. для однород-
ной полуплоскости область
amd
1
d
2
na
вырождается в прямую верти-
кальную линию
β
, при этом поле линий скольжения (см. рис. 2,
а
) не-
прерывным образом переходит в поле классического решения Пранд-
тля для однородной среды. Аналогичный случай получается при не-
ограниченном уменьшении толщины упрочненного слоя
H
, т.е. при
H
→
0
. В этом случае указанная жесткая область
amd
1
d
2
na
также
вырождается в вертикальную
β
-линию решения Прандтля. В другом
предельном случае при
k
= 0
из формулы (13) получаем
|
ψ
|
=
π/
4
,
2
ψ
=
π/
2
, т.е. в этом случае жесткий участок занимает всю область
awra
. Подробно указанные предельные случаи рассмотрены в рабо-
тах [5, 6].
В общем случае семейство
α
-линий в мягкой подложке образует-
ся криволинейными линиями, ортогональными к прямым линиям
β
.
Эти линии в подложке уже не являются дугами окружностей, как это
было в области
awr
поверхностного упрочненного слоя. В подложке
β
-линии образуют однопараметрическое семейство кривых, параме-
тром которых служит угол
ϕ
1
. Огибающая этого однопараметриче-
ского семейства является геометрическим местом центров кривизны
α
-линий, т.е. является их эволютой. В подложке
α
-линии можно полу-
чить как траектории точек нерастяжимой нити при ее разматывании с
эволюты. Таким образом,
α
-линии в подложке являются эвольвентами.
Построенная таким образом сетка линий скольжения в подложке
(области
wmd
1
g
и
nrfd
2
, см. рис. 2) отвечает всем требованиям, предъ-
являемым к полям линий скольжения. В частности, прямые отрезки
β
-линий, отсекаемые двумя разными
α
-линиями, по своему постро-
96 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3
