ению имеют одинаковую длину. При использовании характеристиче-
ских соотношений для расчета напряжений рассматриваемое поле ли-
ний скольжения автоматически удовлетворяет статическим условиям,
т.е. условиям равновесия и условию пластичности. Согласно экстре-
мальным принципам теории пластичности это обеспечивает, по мень-
шей мере, получение нижней оценки величины предельной контакт-
ной нагрузки [1].
В работе [4] приведен подробный анализ напряжений и их разры-
вов для поля линий скольжения, показанного на рис. 2,
а
. На рис. 2,
б
приведен годограф скоростей для рассматриваемой задачи. Доказано,
что поле линий скольжения (см. рис. 2,
а
) удовлетворяет кинематиче-
ским условиям задачи, поле скоростей в нем непрерывно, а скорости
ломаных линий
β
— постоянны [4]. Отметим, что годограф скоростей
для пластически неоднородной среды (см. рис. 2,
б
) cовпадает с го-
дографом скоростей решения Прандтля для однородной среды (при
k
1
=
k
)
. Однако при
k
1
6
=
k
указанный годограф определяет поле
скоростей в физической плоскости, отличное от решения Прандтля.
В полученном решении, как следует из годографа скоростей (см.
рис. 2,
б
), ломаные
β
-линии совершают мгновенное поступательное
движение. Когда
k
1
→
k
, ломаные линии
β
выпрямляются и в пределе
становятся прямыми
β
-линиями решения Прандтля, а условие посто-
янства их скоростей сохраняется [4]. С помощью годографа скоростей
(см. рис. 2,
б
) было определено мгновенное направление скоростей ма-
териальных точек в рассматриваемой задаче. Из годографа следует, что
жесткая область
amd
1
d
2
na
движется в горизонтальном направлении
как одно целое со скоростью, параллельной горизонтальному напра-
влению ее основания
d
1
d
2
(см. рис. 2,
а, б
).
В работе [4] доказано, что поле линий скольжения (см. рис. 2) удо-
влетворяет не только статическим, но и кинематическим условиям за-
дачи. При этом верхняя и нижняя оценки предельных контактных на-
грузок совпадают и поле линий скольжения дает истинное (или факти-
ческое) значение предельных контактных нагрузок в рассматриваемой
задаче. Доказано также, что рассматриваемое поле линий скольжения
удовлетворяет дополнительно следующим двум условиям: требова-
нию неотрицательности диссипации энергии пластической деформа-
ции во всех точках пластической области и условию существования
жестких областей внутри пластической области. Это означает, что по-
ле линий скольжения является точным и полным решением плоской
задачи теории пластичности, которое определяет точные теоретиче-
ские значения предельных контактных нагрузок [4–6].
Описание методики определения предельных контактных нагрузок
p
c
/
2
k
1
для поля (см. рис. 2) и вычисление их значений приведено в ра-
ботах [5, 6]. Принципиальная сложность расчета предельных нагрузок
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3 97
