и в более мягкой подложке. Как показано в работе [2], для двухкомпо-
нентной среды с
k
1
> k
и с линией раздела сред, параллельной оси
Ox
,
решения теории пластичности сопровождаются разрывами нормаль-
ных напряжений
σ
x
на указанной линии. Значение разрыва зависит от
напряженного состояния в рассматриваемой точке.
Значение разрыва [
σ
] среднего напряжения
σ
= (
σ
x
+
σ
y
)
/
2
необхо-
димо учитывать при пересечении линией скольжения границы раздела
сред. С учетом этого замечания разностная форма характеристических
уравнений (5) принимает вид [2]
Δ
σ
=
±
2
k
Δ
ϕ
±
[
σ
]
,
(6)
где верхний знак (плюс) у первого члена в правой части относится,
как отмечалось ранее, к
α
-линии скольжения, а нижний знак (минус)
— к
β
-линии.
Знак у разрыва среднего напряжения [
σ
] зависит от направления
пересечения линией скольжения границы раздела сред и определяется
происходящим при этом увеличением или уменьшением величины
σ
.
В рассматриваемой задаче у свободной поверхности, примыкающей
к контактной, при переходе от более прочного поверхностного слоя
с
τ
max
=
k
1
к более мягкой подложке с
τ
max
=
k
алгебраическое
значение среднего напряжения
σ
возрастает, а модуль
|
σ
|
уменьшается,
т.е.
σ <
0
, а
Δ
σ >
0
[2].
Определим значение разрыва [
σ
] в общем случае, когда на гра-
нице раздела сред имеется касательное напряжение
τ
xy
6
= 0
(рис. 1).
Вследствие непрерывности касательных напряжений
τ
xy
на линии раз-
дела сред получаем, что
|
τ
xy
|
6
k < k
1
. На границе раздела сред,
совпадающей с осью
Ox
, статические условия требуют непрерывно-
сти напряжений
σ
y
и
τ
xy
. Для точки
А
, лежащей на линии раздела
сред, этому условию отвечает общая точка кругов Мора с радиусами
k
1
и
k
(рис. 1,
б, в
). Значения углов
ϕ
1
и
ϕ
, образуемых
α
-линиями
скольжения с осью
Ox
в области поверхностного слоя и более мяг-
кой подложки, при
τ
xy
6
=
0 оказываются разными. Из рис. 1,
б
следуют
соотношения
ϕ
= 0
,
5 arccos(
τ
xy
/k
);
ϕ
1
= 0
,
5 arccos(
τ
xy
/k
1
)
,
(7)
где
k
1
> k
и, следовательно,
ϕ
1
> ϕ
.
Этому условию отвечают направления линий скольжения
α
и
α
1
в
рассматриваемой точке
А
границы раздела сред (см. рис. 1,
б
). Таким
образом, при
|
τ
|
=
|
τ
xy
| 6
= 0
удовлетворение статическим условиям
приводит к скачкообразному изменению направлений линий скольже-
ния семейств
α
и
β
на границе раздела сред. При отсутствии каса-
тельных напряжений на указанной границе, т.е. при
|
τ
|
=
|
τ
xy
|
= 0
, из
формул (7) получаем, что в этом случае на этой границе
ϕ
=
ϕ
1
=
π/
4
.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3 91
