Как для пластически однородной среды, так и для рассматривае-
мой задачи имеем одни и те же дифференциальные уравнения (1)–(4)
в каждой из сред со своим значением пластической постоянной
k
1
или
k
в каждой из них. Эти системы квазилинейных дифференциальных
уравнений в частных производных, как указывалось ранее, имеют два
семейства взаимно ортогональных характеристик, совпадающих в фи-
зической плоскости с линиями скольжения семейств
α
1
,
β
1
или
α
,
β
в зависимости от рассматриваемой среды. Как отмечалось ранее, на
границе раздела сред, параллельной оси
Ox
, терпят разрыв нормаль-
ное напряжение
σ
x
и среднее напряжение
σ
. Значения разрывов [
σ
x
]
и [
σ
] определяются по формулам (8) и (9).
Вдоль линий скольжения
α
и
β
выполняются характеристические
соотношения (5) и (6) для напряжений. Эти же линии скольжения
являются характеристиками и для поля скоростей [1]. Если вектор ско-
рости
v
разложить по направлениям характеристических линий
α
и
β
,
определив его координатами
v
α
и
v
β
в криволинейной координатной
системе
αOβ
, то вдоль линий скольжения выполняются дифференци-
альные характеристические соотношения Гейрингер [1, 4]
dv
α
dϕ
= +
v
β
(
вдоль
α
-линий
);
dv
β
dϕ
=
−
v
α
(
вдоль
β
-линий
)
.
(11)
Задача о вдавливании плоского пуансона в пластическую по-
луплоскость с поверхностным упрочненным слоем ставится следую-
щим образом. На поверхности полуплоскости имеется упрочненный
слой толщиной
H
с пределом текучести на сдвиг
k
1
> k
, где
k
—
предел текучести на сдвиг у подложки. Длину нагруженной контакт-
ной области обозначим
B
(рис. 1,
а
). Задача о вдавливании пуансона
со скоростью
v
полностью определится заданием четырех размерных
параметров
H, B, k
и
k
1
. Этот набор размерных параметров можно
заменить на два безразмерных параметра:
H/B
и
k/k
1
, являющихся
критериями подобия рассматриваемого процесса. Диапазон их из-
менения в рассматриваемой задаче следующий:
0
6
H/B
6
0
,
5
,
0
6
k/k
1
6
1
. При такой постановке задачи реализуется случай
разрывной неоднородности деформируемой пластической среды.
Поле линий скольжений для рассматриваемой задачи показано на
рис. 2,
а
. При
τ
xy
= 0
из формулы (7) получаем
ϕ
1
=
ϕ
=
π/
4
, поэтому
в таких областях на границе раздела сред отсутствует излом линий
скольжения. Под пуансоном пластическая область (как и в решении
Прандтля для однородной среды) имеет вид прямоугольного равнобе-
дренного треугольника
bag
, как и у свободных границ — в виде тре-
угольника
aqf
. Точка
a
в углу пуансона — особая, и в ее окрестности
94 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3
