В прямоугольной декартовой системе
xOy
для плоской деформа-
ции такого тела решаем систему двух дифференциальных уравнений
равновесия [1]
∂σ
x
∂x
+
∂τ
xy
∂y
= 0;
∂τ
xy
∂x
+
∂σ
y
∂y
= 0
(1)
при условии пластичности
(
σ
x
−
σ
y
)
2
+ 4
τ
2
xy
= 4
k
2
.
(2)
Поле скоростей
v
= (
v
x
, v
y
)
материальных частиц деформируемой
полосы должно удовлетворять условию несжимаемости
∂v
x
∂x
+
∂v
y
∂y
= 0
(3)
и уравнению соосности девиаторов напряжений и скоростей дефор-
маций, вытекающему из теории пластического течения Прандтля,
σ
x
−
σ
y
2
τ
xy
=
∂v
x
∂x
−
∂v
y
∂y
∂v
x
∂y
+
∂v
y
∂x
−
1
.
(4)
Согласно условию пластичности Губера–Мизеса в формуле (2)
пластическая постоянная
k
=
σ
s
/
√
3
, а согласно условию текучести
Треска–Сен-Венана —
k
=
σ
s
/
2
, где
σ
s
— предел текучести деформи-
руемого тела.
Таким образом, для плоской деформации жесткого идеально-
пластического тела имеем систему (1)–(4) четырех дифференциаль-
ных и одного алгебраического уравнений с пятью неизвестными:
тремя компонентами напряжений (
σ
x
,
σ
y
и
τ
xy
) и двумя координата-
ми скоростей (
v
x
и
v
y
). Известно, что уравнения (1)–(4) приводятся
к системе квазилинейных дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка гиперболического типа. Эта система
имеет два семейства вещественных взаимно ортогональных харак-
теристик, являющихся линиями скольжения в деформируемом теле,
которые при плоской деформации совпадают с траекториями
τ
max
=
k
,
т.е. с линиями скольжения [1].
Вдоль линий скольжения имеют место характеристические соот-
ношения [1]:
dσ/dϕ
=
±
2
k,
(5)
где
σ
= (
σ
x
+
σ
y
)
/
2
— среднее напряжение в рассматриваемой точке,
ϕ
— угол наклона касательной к
α
-линии скольжения, отсчитываемый
от оси
Ox
против часовой стрелки. Знак плюс в формуле (5) относится
к
α
-линии скольжения, а знак минус — к
β
-линии скольжения [1].
В качестве основной (базовой) задачи рассматривалось вдавли-
вание плоского жесткого пуансона шириной
B
в пластическую по-
луплоскость, на поверхности которой имеется упрочненный слой тол-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 3 89
