равенства нулю его действительной
(
сплошная линия
)
и мнимой
(
штри
-
ховая кривая
)
части
(
рис
. 1,
а
).
Пересечение линий дает корень
λ
.
Рас
-
смотрим подробно графическое решение
,
построенное для уравнения
(22)
при
ξ
1
= 3
,
83
(
см
.
рис
. 1,
а
).
Следует отметить
,
что каждому числу
ξ
n
соответствует бесконечное количество корней
λ
и
,
соответственно
,
ζ
.
Можно выделить четыре группы корней
,
различающихся по их распо
-
ложению на комплексной плоскости
.
Введем дополнительный индекс
l
и условимся
,
что
l
=
−
1
будет соответствовать большим по величине
действительным корням
λ
(
точка
1
,
см
.
рис
. 1,
а
).
Действительным кор
-
ням
,
располагающимся вблизи точки
O
,
присвоим индекс
l
=
−
2
(
точка
2
,
см
.
рис
. 1),
индекс
0
будет соответствовать корню с модулем
|
λ
|
> ε
,
лежащему вблизи мнимой оси
(
точка
4
,
см
.
рис
. 1,
а
).
Группе корней
3
,
лежащей вблизи мнимой оси с модулем
0
<
|
λ
|
< ε
присвоим индексы
l
= 1
. . .
∞
.
Тогда решение системы
(12)–(15)
можно записать в виде
P
=
∞
X
l
=
−
2
P
0
nl
.
Простым корням
λ
уравнений
(22)
и
(23)
соответствуют различные
формы колебаний
,
для их идентификации воспользуемся выражением
для вертикальной составляющей скорости малых возмущений жидко
-
сти
,
полученным из системы
(12)–(15),
при этом компонент скорости
зависит от времени по закону
v
=
V e
imη
−
Ω
t
,
т
.
е
.
V
=
−
1
λ
∂P
∂x
.
(24)
С учетом равенства
(24)
выражение для
V
0
nl
можно записать в виде
V
0
nl
=
−
1
R
0
ζ
nl
λ
nl
J
0
µ
ξ
n
r
R
0
¶·
cos
ζ
(
i
)
nl
x
R
0
µ
cosh
ζ
(
r
)
nl
x
R
0
+ sinh
ζ
(
r
)
nl
x
R
0
¶
+
+
i
sin
ζ
(
i
)
n
x
R
0
µ
tanh
ζ
(
r
)
nl
x
R
0
+ coth
ζ
(
r
)
nl
x
R
0
¶¸
e
−
λ
nl
t
.
Действительным корням уравнений
(22)
и
(23)
отвечают волновые
апериодические движения жидкости
.
Амплитуда этих движений боль
-
ше на поверхности слива
.
Мы назовем их волнами слива
.
Такие же ре
-
шения были получены и для полностью заполненного сосуда
[10].
Наличие свободной поверхности
,
по сравнению с полностью запол
-
ненным сосудом
,
приводит к появлению еще одной группы волновых
движений
—
волн на свободной поверхности жидкости
,
для которых
|
λ
|
> ε
.
На рис
. 1
им соответствует точка
4
.
Наличие слива переводит
8 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1
