Здесь
n
Σ
—
нормаль к поверхности
Σ
;
p
—
модифицированное да
-
вление
p
=
p
0
ρ
,
p
0
—
отклонение давления от равновесного значения
;
γ
=
ξ
(
V
Σ
−
V
0
)
,
ξ
—
коэффициент сопротивления поверхности сли
-
ва
.
Условие на поверхности слива получается на основе линеаризации
уравнения для перепада давления на поверхности слива и используется
при расчете динамических характеристик ракет на жидком топливе
[1].
Исключая переменную
~v
,
уравнения
(1)–(6),
записанные в подвиж
-
ной системе отсчета
,
приведем к краевой задаче
,
записанной в ци
-
линдрической системе координат
(
x, r, η, t
)
,
для одной переменной
—
p
(
x, r, η, t
)
.
Формулировка краевой задачи
.
Получим соотношение для возму
-
щенного давления
p
,
исключив из уравнения
(4)
вектор скорости
~v
.
Для
этого умножим обе части уравнения
(1)
скалярно на
∇
p
0
и после не
-
сложных преобразований получим условие на свободной поверхности
,
которое может быть использовано для сосудов произвольной формы
,
вращающихся вокруг оси
OX
3
c
произвольной угловой скоростью
ω
0
.
Тогда уравнения
(1)–(6)
могут быть записаны относительно пере
-
менной
p
(
x, r, η, t
)
:
∂
2
∂t
2
µ
∂
2
p
∂r
2
+
1
r
∂p
∂r
+
1
r
2
∂
2
p
∂η
2
+
∂
2
p
∂x
2
¶
+ 4
ω
2
0
∂
2
p
∂x
2
= 0
в
Q,
(7)
1
|∇
p
0
|
∂
4
p
∂t
4
−
∂
2
∂t
2
·
∇
p
· ∇
p
0
|∇
p
0
|
¸
−
1
|∇
p
0
|
4
ω
2
0
·
−
∂
2
p
∂t
2
+
∂p
∂x
3
∂p
0
∂x
3
¸
=
=
−
2
ω
0
1
|∇
p
0
|
∂
∂t
µ
∂p
∂x
1
∂p
0
∂x
2
−
∂p
∂x
2
∂p
0
∂x
1
¶
на
Γ
0
,
(8)
∂
2
∂t
2
∂p
∂r
+ 2
ω
0
1
r
∂
2
p
∂t∂η
= 0
на
S,
(9)
∂p
∂x
−
1
γ
∂p
∂t
= 0
на
Σ
,
(10)
p
(
~x,
0) =
p
0
,
∂p
(
~x,
0)
∂t
=
p
0
1
,
∂
2
p
(
~x,
0)
∂t
2
=
p
0
2
,
∂
3
p
(
~x,
0)
∂t
3
=
p
0
3
, ~x
= (
x, r, η
)
.
(11)
При значении коэффициента сопротивления
γ
=
∞
(
отсутствие
слива
)
задача
(7)–(11)
представляет собой задачу о движениях враща
-
ющейся жидкости
,
частично заполняющей круговую цилиндрическую
емкость
[2]–[7].
Медленное вращение
.
Пусть скорость вращения такова
,
что сво
-
бодная поверхность остается почти плоской
.
Тогда выражение для не
-
4 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1
