ственным числом
λ
спектральной задачи
(12)–(15)
формулой
λ
2
=
ε
2
ζ
2
ξ
2
−
ζ
2
.
(16)
Используя метод разделения переменных
,
будем искать решение за
-
дачи
(12)–(15)
в виде
P
(
x, r
) =
X
(
x
)
R
(
r
)
.
Разделяя переменные
,
получим две задачи для определения функ
-
ций
X
(
x
)
и
R
(
r
)
:
−
X
00
=
−
ζ
2
X,
X
0
+
λ
2
X
= 0 (¯
x
= 0)
,
X
0
=
−
1
¯
γ
ζ
p
ξ
2
−
ζ
2
X
µ
¯
x
=
−
¯
H
=
−
H
R
0
¶
,
(17)
−
µ
R
00
+
1
¯
r
R
0
−
m
2
¯
r
2
R
¶
=
ξ
2
R,
i
ζ
p
ξ
2
−
ζ
2
R
0
=
mR
¯
r
= 1
,
(18)
где символ
0
означает производную от функции по соответствующей
безразмерной координате
.
Отметим
,
что используя формулу
(16),
зада
-
чи
(17), (18)
всегда можно переписать в другом виде для определения
любых двух параметров из трех неизвестных
—
ζ, ξ, λ
.
Решением уравнения
(17)
будет являться следующая функция
:
X
(
x
) =
C
1
cosh
ζ
x
R
0
+
C
2
sinh
ζ
x
R
0
.
Решением уравнения
(18)
с учетом его ограниченности в нуле явля
-
ется функция
R
(
r
) =
J
m
³
ξ
r
R
0
´
.
Подставив указанные функции в граничные условия задач
(17)
и
(18)
на поверхности слива
Σ
и на боковой поверхности
S
,
получим
трансцендентные уравнения для определения безразмерных волновых
чисел
ζ
,
ξ
и собственного числа
λ
:
¯
γ
−
1
λ
+
µ
−
λ
ζ
+
ζ
λ
2
¯
γ
¶
tanh
ζ
H
R
0
= 0;
(19)
J
m
−
1
(
ξ
)
J
m
(
ξ
)
=
m
ξ
µ
1 +
i
ε
λ
¶
;
(20)
λ
2
=
ε
2
ζ
2
ξ
2
−
ζ
2
.
(21)
6 ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1
