Исследование трансцендентных уравнений
.
В уравнениях
(19)–(21)
целые функции
tanh
ζ
¯
H
,
f
1
(
ξ
) =
J
m
−
1
(
ξ
)
/J
m
(
ξ
)
являются трансцен
-
дентными мероморфными функциями комплексных переменных
ξ
и
ζ
.
Следовательно
,
можно предположить
,
что уравнения
(19)–(21)
будут
иметь комплексные решения
ζ
=
ζ
(
r
)
+
iζ
(
i
)
,
ξ
=
ξ
(
r
)
+
iξ
(
i
)
и
λ
=
λ
(
r
)
+
+
iλ
(
i
)
.
Получение аналитических выражений для собственных чисел
ζ, ξ, λ
—
корней системы трансцендентных уравнений
(19)–(21) —
пред
-
ставляет определенные трудности
,
поэтому воспользуемся подходом
,
описанным в работе
[10]
для решения нелинейных уравнений
.
Сначала
запишем уравнения
(19)–(21)
в виде системы двух уравнений
,
выразив
ζ
через
λ
и
ξ
:
¯
γ
−
1
λ
+
Ã
−
√
ε
2
+
λ
2
ξ
+ ¯
γ
ξ
λ
√
ε
2
+
λ
2
!
tanh
ξλ
√
ε
2
+
λ
2
H
R
0
= 0
,
(22)
J
m
−
1
(
ξ
)
J
m
(
ξ
)
=
m
ξ
µ
1 +
i
ε
λ
¶
.
(23)
При численном решении
,
чтобы найти каждую пару корней
,
необходи
-
мо задать их первые приближения
.
В случае
m
= 0
решение системы сводится к решению первого
уравнения с использованием корней
ξ
,
полученных из решения второго
уравнения системы
,
сводящегося к уравнению
J
1
(
ξ
) = 0
,
которое
,
как
известно из работы
[8],
имеет счетное множество действительных кор
-
ней
ξ
n
, n
= 1
. . .
∞
.
Для одного оставшегося неизвестного
λ
первое
приближение можно получить из графического решения аналогично
тому
,
как это было описано в работе
[10].
Для этого приведем уравнения
(22)
и
(23)
к одному уравнению относительно
λ
и построим диаграммы
Рис
. 1.
Графическое решение уравнений
(22)
и
(23)
в плоскости комплексного
переменного
λ
:
m
= 0
,
¯
H
= 2
,
ξ
1
= 3
,
83
,
ε
= 1
,
γ
= 0
,
5
(
a
)
и
γ
= 0
,
275
(
б
)
ISSN 0236-3941.
Вестник МГТУ им
.
Н
.
Э
.
Баумана
.
Сер
. "
Машиностроение
". 2004.
№
1 7
