это было сделано для тензора градиента места в (15):
{
c
}
9
×
1
=
θ
2
1
+
θ
2
2
+
θ
2
3
θ
1
θ
4
+
θ
2
θ
5
+
θ
3
θ
6
θ
1
θ
7
+
θ
2
θ
8
+
θ
3
θ
9
θ
1
θ
4
+
θ
2
θ
5
+
θ
3
θ
6
θ
2
4
+
θ
2
5
+
θ
2
6
θ
4
θ
7
+
θ
5
θ
8
+
θ
6
θ
9
θ
1
θ
7
+
θ
2
θ
8
+
θ
3
θ
9
θ
4
θ
7
+
θ
5
θ
8
+
θ
6
θ
9
θ
2
7
+
θ
2
8
+
θ
2
9
.
(28)
Тогда
II
C
=
{
c
}
|
{
c
}
(29)
и с учeтом этого можно получить следующие выражения:
r
{
θ
}
II
C
1
×
9
=
r
{
c
}
II
C
1
×
9
r
{
θ
}
{
c
}
9
×
9
;
(30)
r
{
c
}
II
C
= 2
{
c
}
|
;
(31)
r
{
θ
}
II
C
= 2
{
c
}
|
r
{
θ
}
{
c
}
,
(32)
где матрица
r
{
θ
}
{
c
}
имеет вид
r
{
θ
}
{
c
}
9
×
9
=
2
θ
1
2
θ
2
2
θ
3
0 0 0 0 0 0
θ
4
θ
5
θ
6
θ
1
θ
2
θ
3
0 0 0
θ
7
θ
8
θ
9
0 0 0
θ
1
θ
2
θ
3
θ
4
θ
5
θ
6
θ
1
θ
2
θ
3
0 0 0
0 0 0 2
θ
4
2
θ
5
2
θ
6
0 0 0
0 0 0
θ
7
θ
8
θ
9
θ
4
θ
5
θ
6
θ
7
θ
8
θ
9
0 0 0
θ
1
θ
2
θ
3
0 0 0
θ
7
θ
8
θ
9
θ
4
θ
5
θ
6
0 0 0 0 0 0 2
θ
7
2
θ
8
2
θ
9
.
(33)
Вторые производные инварианта
II
C
, учитывая (32), можно запи-
сать как
∂
2
II
C
∂θ
i
∂θ
j
= 2
9
X
k
=1
∂c
k
∂θ
j
∂c
k
∂θ
i
+
c
k
∂
2
c
k
∂θ
i
∂θ
j
(34)
или в матричной форме как:
r
{
θ
}{
θ
}
II
C
= 2
r
{
θ
}
{
c
}
9
×
9
|
r
{
θ
}
{
c
}
9
×
9
+ 4 [
A
]
,
(35)
где симметричная матрица
[
A
]
составлена из компонент вектора
{
c
}
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 3 17
