выражений для тензоров напряжений и деформаций, путeм выполне-
ния интегрирования по начальному объeму
V
:
Π =
ZZZ
V
WdV
−
A,
(5)
где
A
— работа постоянных внешних сил на достигнутых перемеще-
ниях.
Тогда принцип возможных перемещений будет описываться вари-
ационным уравнением вида
ZZZ
V
δWdV
−
δA
= 0
.
(6)
Дискретизация задачи.
Для численного решения уравнения (6)
использована техника метода конечных элементов (МКЭ), в рамках
которой поле перемещений приближeнно представляется матрицей
функции формы и вектором узловых степеней свободы в виде
{
u
}
3
×
1
= [
N
]
3
×
n
{
q
}
n
×
1
,
(7)
где
n
— размерность задачи.
Таким образом, все характеристики деформированного состояния
также могут быть однозначно выражены через вектор узловых степе-
ней свободы
{
q
}
; следовательно, функциями вектора
{
q
}
являются как
инварианты тензора деформаций, так и сам упругий потенциал:
I
C
=
I
C
(
{
q
}
);
II
C
=
II
C
(
{
q
}
);
J
=
J
(
{
q
}
);
W
=
W
(
{
q
}
)
.
(8)
Вариация упругого потенциала после его дискретизации может
быть представлена через приращения узловых степеней свободы как
δW
=
n
X
i
=1
∂W
∂q
i
dq
i
.
(9)
Для краткости обозначим
r
{
b
}
{
a
}
ij
=
∂a
i
∂b
j
.
(10)
Следовательно,
δW
= (
r
{
q
}
W
1
×
n
)
{
dq
}
n
×
1
.
Это позволяет перейти от вариационного уравнения (6) к системе
нелинейных алгебраических уравнений вида
ZZZ
V
(
r
{
q
}
W
)
|
dV
− {
F
}
=
{
R
}
n
×
1
= 0
,
(11)
где
{
F
}
— вектор узловой нагрузки;
{
R
}
— узловая невязка сил.
14 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 3
