Считая, что
W
=
W
(
{
θ
(
{
q
}
)
}
)
, выразим первые и вторые произ-
водные упругого потенциала
W
в виде функции вектора
{
θ
}
:
r
{
q
}
W
1
×
n
=
r
{
θ
}
W
1
×
9
r
{
q
}
{
θ
}
9
×
n
=
r
{
θ
}
W
[
dN
] ;
(18)
r
{
q
}{
q
}
W
n
×
n
=
r
{
q
}
{
θ
}
n
×
9
|
r
{
θ
}{
θ
}
W
9
×
9
r
{
q
}
{
θ
}
9
×
n
=
= [
dN
]
|
r
{
θ
}{
θ
}
W
[
dN
]
.
(19)
Следующим шагом раскроем представление упругого потенциала
W
как
W
(
{
θ
}
) =
W
(
{
I
(
{
θ
}
)
}
)
,
{
I
}
3
×
1
= [
I
C
(
{
θ
}
)
, II
C
(
{
θ
}
)
, J
(
{
θ
}
)]
,
|
(20)
и выполним дифференцирование
W
как сложной функции:
r
{
θ
}
W
1
×
9
=
r
{
I
}
W
1
×
3
r
{
θ
}
{
I
}
3
×
9
;
(21)
r
{
θ
}{
θ
}
W
9
×
9
=
r
{
θ
}
{
I
}
9
×
3
|
r
{
I
}{
I
}
W
3
×
3
r
{
θ
}
{
I
}
3
×
9
+
r
{
I
}
W
1
×
3
r
{
θ
}{
θ
}
{
I
}
3
×
9
×
9
,
(22)
что с учетом (4) приводит к следующим выражениям:
r
{
θ
}
W
= (
μ
10
+
μ
01
I
C
)
r
{
θ
}
I
C
−
1
2
μ
01
r
{
θ
}
II
C
+
κ
(
J
−
1)
r
{
θ
}
J
;
(23)
r
{
θ
}{
θ
}
W
=
μ
01
r
{
θ
}
I
C
9
×
1
|
r
{
θ
}
I
C
1
×
9
+ (
μ
10
+
μ
01
I
C
)
r
{
θ
}{
θ
}
I
C
9
×
9
−
−
1
2
μ
01
r
{
θ
}{
θ
}
II
C
9
×
9
+
κ
r
{
θ
}
J
9
×
1
|
r
{
θ
}
J
1
×
9
+
κ
(
J
−
1)
r
{
θ
}{
θ
}
J
9
×
9
.
(24)
Заключительным этапом построения матрицы тангенциальных
жесткостей является получение значений градиента и матриц Гессе
для инвариантов тензора деформаций как функций вектора производ-
ных
{
θ
}
.
Для этого отметим, что из определения вектора
{
θ
}
и тензора де-
формаций
C
непосредственно следует, что
I
C
= tr
C
= tr ([
F
]
|
[
F
]) = [
F
] : [
F
] =
{
θ
}
|
{
θ
}
;
(25)
r
{
θ
}
I
C
= 2
{
θ
}
|
;
(26)
r
{
θ
}{
θ
}
I
C
= 2 [
I
]
9
×
9
,
(27)
где
[
I
]
— единичная матрица.
Чтобы получить аналогичные выражения для
II
C
, выполним пре-
образование компонент тензора
C
в вектор-столбец подобно тому, как
16 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 3
