когда для построения различных компонент энергии деформации ис-
пользуются численные схемы интегрирования разного порядка.
Разобьeм гомогенизированный упругий потенциал
ˆ
W
на два сла-
гаемых,
ˆ
W
0
и
W
p
, первое из которых связано с энергией формоизме-
нения, а второе формирует энергию объeмной деформации:
ˆ
W
= ˆ
W
0
(
I
C
, II
C
, J
) +
W
p
(
J
);
(41)
ˆ
W
0
(
I
C
, II
C
, J
) =
=
μ
10
J
−
2
3
I
C
−
3 +
1
2
μ
01
J
−
4
3
I
2
C
−
II
C
−
6 ;
(42)
W
p
(
J
) =
1
2
κ
(
J
−
1)
2
.
(43)
Выполним раздельное построение матрицы
[
K
τ
]
:
[
K
τ
]
n
×
n
=
n
0
X
i
1
=1
n
0
X
i
2
=1
n
0
X
i
3
=1
g
i
1
g
i
2
g
i
3
det
r
{
ξ
}
{
X
}r
{
q
}{
q
}
ˆ
W
0
+
+
n
p
X
i
1
=1
n
p
X
i
2
=1
n
p
X
i
3
=1
g
i
1
g
i
2
g
i
3
det
r
{
ξ
}
{
X
}r
{
q
}{
q
}
W
p
,
(44)
где
n
0
,
n
p
— порядок схемы интегрирования энергии формоизмене-
ния и энергии объeмной деформации соответственно;
g
i
— весовые
коэффициенты квадратурной формулы Гаусса–Лежандра соответству-
ющего порядка, определитель
det
r
{
ξ
}
{
X
}
— якобиан изопараметри-
ческого преобразования координат.
Аналогичным образом выполняется построение вектора-столбца
невязки узловых сил
{
R
}
.
При использовании описанной схемы необходимо согласовывать
параметр
n
p
с порядком функций формы элемента. Например, для
трилинейных функций формы
N
i
(
ξ, η, ζ
) =
1
8
(1+
ξ
i
ξ
)(1+
η
i
η
)(1+
ζ
i
ζ
)
необходимо выбирать
n
p
= 1
, тогда как параметр
n
0
для недопущения
возникновения механизмов на элементе должен удовлетворять усло-
вию
n
0
>
2
. В [3, гл. 8] указано, что подобная схема построения эле-
мента в ряде случаев может давать ложные осцилляции гидростати-
ческого давления, поэтому для практического применения описанного
подхода необходимо выполнить тестовые расчeты.
Тестовые расчeты.
Для подтверждения корректности и вычисли-
тельной эффективности описанного подхода был проведeн ряд числен-
ных экспериментов, т.е. сопоставление результатов расчeта тестовых
задач с результатами, полученными в комплексе Ansys.
Первая задача заключалась в расчeте плоского деформированного
состояния клиновидного уплотнителя (рис. 2), нагруженного постоян-
20 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2013. № 3
