Наиболее эффективным способом решения уравнения (11) явля-
ется использование итерационной схемы, основанной на методе
Ньютона–Рафсона или его модификациях. Для построения системы
разрешающих уравнений на
k
-м шаге решения необходимо выполнить
линеаризацию невязки
{
R
}
вблизи текущего приближения
{
q
k
}
, что
приводит к следующей системе линейных уравнений относительно
искомого приращения узловых степеней свободы
{
Δ
q
k
}
:
{
R
k
}
n
×
1
+
r
{
q
}
{
R
}
n
×
n
{
Δ
q
k
}
n
×
1
= 0
(12)
или
[
K
τ
]
n
×
n
{
Δ
q
k
}
n
×
1
=
−{
R
k
}
n
×
1
,
(13)
где
[
K
τ
]
— матрица тангенциальных жесткостей, являющаяся матри-
цей вторых производных функционала полной потенциальной энергии
системы, т.е.
[
K
τ
]
n
×
n
=
r
{
q
}
{
R
}
n
×
n
=
ZZZ
V
r
{
q
}{
q
}
WdV.
(14)
В выражении (14) оператор
r
{
q
}{
q
}
W
обозначает вычисление матрицы
Гессе функции
W
(
{
q
}
)
, а внешние силы принимаются не зависящими
от перемещений.
Следовательно, для получения матрицы тангенциальных жестко-
стей достаточно вычислить матрицу вторых производных упругого
потенциала, представленного в виде функции узловых степеней сво-
боды системы.
Эту процедуру разобьем на три этапа. На первом этапе сформируем
из компонент тензора градиента места
F
в глобальной декартовой
системе координат арифметический вектор
{
θ
}
размера
9
×
1
:
{
θ
}
9
×
1
= 1 +
∂u
1
∂X
1
,
∂u
1
∂X
2
,
∂u
1
∂X
3
,
∂u
2
∂X
1
,
1 +
∂u
2
∂X
2
, . . . ,
∂u
3
∂X
2
,
1 +
∂u
3
∂X
3
,
|
(15)
и представим его в виде произведения матрицы производных функций
формы и вектора узловых степеней свободы как
{
θ
}
=
{
I
}
9
×
1
+ [
dN
]
9
×
n
{
q
}
9
×
1
,
(16)
где
{
I
}
— вектор постоянных коэффициентов, принимающих значения
0/1;
[
dN
]
— матрица производных функций формы, получаемая с ис-
пользованием изопараметрической техники [2, гл. 9.2] и не зависящая
от
{
q
}
, тогда
r
{
q
}
{
θ
}
9
×
n
=
∂θ
i
∂q
j
= [
dN
]
.
(17)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 3 15
