трехосное сжатие. В таких стесненных условиях важную роль начи-
нают играть гиперупругие свойства резины, а также ее свойства малой
сжимаемости.
Без учета этих свойств, используя только простейшие линейные со-
отношения для прослойки, оказывается затруднительно обеспечить на-
дежную сходимость решения контактной задачи, являющейся основ-
ной для анализа прочности шин. Кроме того, как будет показано ниже,
учет гиперупругих свойств прослойки позволяет значительно повы-
сить качество решения данной задачи.
Определяющие соотношения для резины.
Для гиперупругих ма-
териалов определяющие соотношения, как правило, формулируются
функциями упругого потенциала. В случае изотропии упругих свойств
материала, что в достаточной степени истинно для резины, упру-
гий потенциал выражается через инварианты деформированного со-
стояния, например через инварианты правого тензора Коши–Грина:
C
=
F
|
F
. Выражения для инвариантов тензора
C
имеют следующий
вид:
I
C
= tr
C
=
3
X
i
=1
c
ii
;
(1)
II
C
= tr (
C
:
C
) =
3
X
i
=1
3
X
j
=1
c
2
ij
;
(2)
III
C
= det
C
= (det
F
)
2
=
J
2
.
(3)
Поскольку третий инвариант правого тензора Коши–Грина равен ква-
драту определителя
J
тензора градиента места
F
, эти два параметра
взаимозаменяемые.
Одной из наиболее простых моделей, описывающих гиперупру-
гое поведение резины, является модель Муни–Ривлина [1, гл. 6.6.2],
имеющая следующий вид в двухконстантной формулировке:
W
=
W
(
I
C
, II
C
, J
) =
=
μ
10
(
I
C
−
3) +
1
2
μ
01
I
2
C
−
II
C
−
6 +
1
2
κ
(
J
−
1)
2
,
(4)
где
μ
10
,
μ
01
— постоянные материала;
κ
— параметр штрафа, имею-
щий смысл модуля объeмной деформации для гомогенизированного
упругого потенциала
ˆ
W
=
W J
−
2
3
I
C
, J
−
4
3
II
C
, J
. В случае малых
деформаций
G
= 2 (
μ
10
+
μ
01
)
, где
G
— модуль упругости 2-го рода.
Вариационная формулировка задачи.
При использовании функ-
ции упругого потенциала полная потенциальная энергия системы мо-
жет быть определена непосредственно, без необходимости получения
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2013. № 3 13
