8 / 16
напряжений и малых деформаций:
∂u
∂x
+
∂v
∂y
= 0;
(23)
2
τ
xy
σ
x
−
σ
y
=
∂u/∂y
+
∂v/∂x
∂u/∂x
−
∂v/∂y
.
(24)
Напряжения в пластических слоях (
h/
2
≤ |
y
| ≤
H/
2
) определяют-
ся из решения задачи Коши для системы уравнений (1), (2) и (17) с
граничными условиями для напряжений, получаемых из упругого ре-
шения на линиях раздела упругой и пластических областей
|
y
|
=
h/
2
:
τ
xy
=
2
mk
H
y
;
σ
x
=
−
2
mk
H
x
+ 2
k
r
1
−
4
m
2
y
2
H
2
−
kC
;
σ
y
=
−
2
mk
H
x
−
kC,
(25)
где параметр
С
определяется по формуле [6, 7]
С
=
h
H
r
1
−
m
2
h
2
H
2
+
√
1
−
m
2
+
arcsin
m
m
−
arcsin
mh
H
1
m
.
(26)
Приведенное решение в упругом слое (при
ν
= 0
,
5
) удовлетво-
ряет (при
ν
= 0
,
5
) всем уравнениям плоской задачи теории упруго-
сти и всем уравнениям теории пластичности в пластических слоях
(
0
≤ |
y
| ≤
H
). Напомним, что это решение справедливо только для
тонких полос, т.е. при
L/H
1
.
Перемещения материальных элементов в деформируемой тон-
кой упругопластической полосе.
Интегрируя соотношения (6)–(8),
(23), (24) для значения
ν
= 0
,
5
, получаем перемещения
u
и
v
на
упругом участке полосы (
0
≤ |
y
| ≤
h
) и на пластических участках
(
h
≤ |
y
| ≤
H/
2
) тонкой упругопластической полосы:
u
=
1
,
5
k
E
r
1
−
m
2
h
2
H
2
x
+
3
mk
EH
y
2
+
C
1
;
v
=
−
1
,
5
k
E
r
1
−
m
2
h
2
H
2
y
(27)
— на упругом участке;
u
=
1
,
5
k
E
r
1
−
m
2
h
2
H
2
x
−
1
,
5
kH
mE
r
1
−
m
2
h
2
H
2
r
1
−
4
m
2
y
2
H
2
+
C
2
;
v
=
1
,
5
k
E
r
1
−
m
2
h
2
H
2
y
(28)
— в пластических участках.
110 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3