11 / 16
принимают вид:
τ
xy
=
2
mk
H
y
;
σ
x
=
−
2
mk
H
x
+ 2
k
r
1
−
4
m
2
H
2
y
2
−
kC
a
;
σ
y
=
−
2
mk
H
x
−
kC
a
,
(34)
где
C
a
— произвольная постоянная
С
в решении Прандтля.
Формулы (34) представляют решение Прандтля для полностью
пластичной полосы толщиной
H
. В частности, положив в формуле
(26) для параметра
С
упругопластического решения
h
= 0
, получаем
полосу со значением
С
=
С
a
, как для полностью пластичной полосы:
C
a
=
√
1
−
m
2
+
arcsin
m
m
.
(35)
Решение Прандтля, как видно, является частным следствием полу-
ченного ранее упругопластического решения.
Поскольку параметр трения
m
изменяется в диапазоне
1
≥
m
≥
0
,
то параметр
С
a
cогласно (35) изменяется в диапазоне
π/
2
≤
C
a
≤
2
.
Значение параметра
C
a
определяется из условия, что край полосы
(левый на рис. 2 и 3) либо свободен от напряжений, либо на него дей-
ствует заданное натяжение
p
a
. В первом случае, т.е. при свободном
от напряжений крае полосы
x
= 0
, результирующая сила, действую-
щая на любое вертикальное поперечное сечение, должна уравновеши-
ваться сопротивлением сил трения, оказываемым деформирующими
плитами:
H/
2
Z
−
H/
2
σ
x
dy
=
−
2
mkx.
(36)
При свободном от напряжений левом крае полосы:
σ
x
= 0
при
x
= 0
и из формул (34) получаем, что в этом случае нормальное
контактное напряжение на краю тонкой полосы:
|
σ
y
|
=
|
σ
n
|
=
kC
a
.
Значение параметра
С
а
с точностью до 4% аппроксимируется фор-
мулой
С
а
≈
2
,
06
−
0
,
43
m.
(37)
Как известно, линии скольжения в решении Прандтля являются ци-
клоидами. Показано, что радиус производящего круга циклоиды опре-
деляется по формуле [2–4]
R
=
H
2
m
.
(38)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 113