13 / 16
нечных размеров, по мере удаления от края полосы линии скольжения
приближаются к циклоидам [3].
В пределе циклоидальное решение Прандтля достигается квазико-
лебательным путем, характерным для дифференциальных уравнений
в частных производных гиперболического типа. Этот результат мо-
жет рассматриваться в качестве аналогии для пластической задачи
известного в теории упругости принципа Сен-Венана [3]. Согласно
формулам (34) решения Прандтля, на краю полосы, т.е. при
x
= 0
,
σ
y
=
−
kC
a
.
Сравнение среднего контактного давления, полученного по форму-
ле Прандтля (39) для
m
= 1
, с численными результатами Хилла, Ли и
Таппера, полученными для полностью пластичной полосы конечных
размеров, показывает, что при
L/H
= 3
,
64
решение Прандтля завы-
шает результат по сравнению с точным на 2,4%, а при
L/H
= 5
—
всего на 1,2%. Даже в совсем принципиально неподходящем случае
при
L/H
= 1
и
m
= 1
формулы Прандтля (39) определяют значение
p
c
= 2
,
07
k
(точное значение
p
c
= 2
,
0
). Даже в этом (недопустимом)
случае решение Прандтля завышает значение
p
c
всего на 3,5%.
Проблема здесь, в первую очередь, связана не с расчетом сил де-
формирования, а с исследованием фактического напряженно-деформи-
рованного состояния заготовки.
Приведенные результаты показывают, что при
L/H >
1
решение
Прандтля с достаточно высокой степенью точности может использо-
ваться для расчета силы деформирования. Причем, как правило, не-
значительная ошибка в расчетном значении силы делается в сторону
ее завышения.
Влияние коэффициента Пуассона
ν
на предельные деформации в
тонкой упругопластической полосе.
Как было показано в упругопла-
стическом решении (при значении коэффициента Пуассона
ν
= 0
,
5
)
тонкая полоса становится полностью пластичной при ее относитель-
ном обжатии
Δ
H/H
= 1
,
5
k/E
. В этом случае в пластическое состоя-
ние в последнюю очередь должны перейти все материальные элемен-
ты, лежащие на оси симметрии полосы. В рассматриваемом случае
для этих точек
y
= 0
,
h
= 0
,
γ
xy
= 0
и отличными от нуля, согласно
формулам (31), оказываются только две линейные деформации, рав-
ные
ε
x
=
−
ε
y
= 1
,
5
k/E
.
Интенсивность деформаций
ε
i
(при плоской деформации), рассчи-
тывается по формуле [2]
ε
i
=
√
2
3
s
(
ε
x
−
ε
y
)
2
+
ε
2
x
+
ε
2
y
+
3
2
γ
2
xy
.
(40)
Подставив в формулу (40) указанные значения деформаций, для то-
чек оси симметрии (
y
= 0
) получаем:
ε
i
=
2
√
3
ε
x
=
√
3
k
E
. Напомним,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 115