10 / 16
элементы, лежащие на оси симметрии тонкой полосы, в рассматри-
ваемом случае переходят в пластическое состояние всегда при одном
и том же значении нормальных деформаций
ε
x
=
−
ε
y
= 1
,
5
k/E
, не
зависящих от контактного трения на штампах.
На линиях раздела сред:
y
=
±
h/
2
, параметp
C
=
|
C
n
|
= (Δ
h/h
) =
= (Δ
H/H
)
.
С учетом этих соотношений формула (20) принимает вид
Δ
H
H
=
1
,
5
k
E
r
1
−
m
2
h
2
H
2
.
(33)
Поскольку формула (20) выведена для точек, лежащих на линии
раздела упругой и пластических областей, то безразмерный параметр
h/H
в формуле (33) отвечает относительному положению линии раз-
дела, соответственно, толщину центрального упругого слоя в дефор-
мируемой упругопластической тонкой полосе. Ордината
y
=
h
опре-
деляет толщину центрального тонкой полосе.
Из формулы (33) следует, что для существования упругих областей
в рассматриваемом случае деформируемой тонкой полосы необходи-
мо, чтобы ее обжатие
Δ
H/H <
1
,
5
k/E
.
Формула (33) определяет относительное обжатие
Δ
H/H
в тонкой
упругопластической полосе, при котором в ней остается центральный
упругий слой толщиной
h
. Из этой формулы следует, что для образо-
вания слоя толщиной
h
необходимо, чтобы
0
≤
Δ
H/H <
1
,
5
k/E
. В
первом случае при
Δ
H/H
= 0
имеем исходную недеформированную
полосу, для которой
h
=
H
; во втором случае: имеем пластически
деформированную полосу, для которой
h
= 0
.
Для тех случаев, когда в деформируемой тонкой полосе реализует-
ся упругий слой толщиной
h
, из формулы (33) находим безразмерный
параметр
h/H
, определяющий положение и размеры упругой области
в деформируемой полосе.
Тонкая полностью пластичная полоса (решение Прандтля).
Покажем теперь, что классическое решение о пластическом сжатии
тонких идеально пластических полос, полученное Л. Прандтлем в
1923 г., следует как частный случай из упругопластического решения,
приведенного ранее. Формулы решения Прандтля следуют из формул
этого упругопластического решения при
E
→ ∞
,
ν
= 0
,
5
и
h
= 0
.
Нужно учесть также, что толщину полностью пластической полосы
в решении Прандтля обозначаем
H
, вместо толщины упругого слоя
h
в формулах (25) и (26). С учетом этих изменений формулы (25)
112 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3