6 / 16
В условие пластичности (17) подставляем напряжения из систе-
мы (15) и получаем уравнение возможной границы раздела упругой
и пластических областей. В уравнении линии раздела постоянная
С
оказывается параметром, определяющим конкретную линию раздела
сред. Разрешив полученное уравнение относительно постоянной
С
,
получим
С
=
(1 +
ν
)
E
(1
−
2
ν
)
p
a
−
(1 +
ν
)
E
(1
−
2
ν
)
sx
−
2 (1
−
ν
2
)
E
p
k
2
−
s
2
y
2
.
(18)
Случай, когда пластическая область возникает непосредственно
под штампом, получаем, подставив в формулу (18) значение
y
=
±
h/
2
.
Для него находим
C
=
(1
−
2
ν
) (1 +
ν
)
E
p
a
−
(1
−
2
ν
)
(1 +
ν
)
E
sx
−
(1
−
ν
2
)
E
√
4
k
2
−
s
2
h
2
.
(19)
Из формулы (18) следует, что значение
C
по модулю возрастает
по мере удаления от края заготовки (при возрастании
x
). Для этого
вывода достаточно сравнить значения
C
из этой формулы для двух
точек с разными абсциссами
x
при совпадающих значениях ординат
y
. Из этой формулы следует, что большему значению
x
при совпаде-
нии значений остальных параметров соответствует большее значение
параметра
C
, т.е. большее обжатие
Δ
h
, вызывающее появление пла-
стических деформаций в рассматриваемой точке полосы.
Приходим к важному выводу о том, что даже при жестких парал-
лельных плитах пластическое течение наступает раньше для точек,
расположенных ближе к краю полосы. Это согласуется с эксперимен-
тальными данными, что при сжатии полос пластические деформации
начинаются с края (
x
= 0
) тонкой полосы. Изложенное объясняет
также, почему наличие абсциссы
x
в членах правых частей формул
(18) и (19) искривляет форму линии раздела упругой и пластических
областей. Это является следствием разностей значений относительно-
го изменения объема в точках с разными значениями абсцисс
x
.
Упругопластическое сжатие тонкой полосы.
В формулах (18) и
(19) во всех членах с абсциссой
x
присутствуют множители (
1
−
2
ν
).
Приняв допущение о несжимаемости материала
(
ν
= 0
,
5)
, т.е. прене-
брегая, вследствие его малости, упругим изменением объема дефор-
мируемой полосы, из (19) получаем значение
С
=
C
−
n
, которое не
зависит от
x
:
C
n
=
−
0
,
75
E
√
4
k
2
−
s
2
h
2
(20)
и которое можно записать в виде
C
n
=
−
1
,
5
k
E
√
1
−
m
2
.
(21)
108 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3