5 / 16
Искомое решение находим, определив с помощью граничных усло-
вий задачи значения постоянных интегрирования
s
,
C
и
N
в форму-
лах (15).
Для жестких плит значение вертикальных контактных перемеще-
ний
v
(при
y
=
±
h/
2
) рассматривается как постоянная:
v
=
const
=
=
∓
Δ
h/
2
, где
Δ
h
— обжатие полосы (величина положительная). Из
второго соотношения формул (15) в рассматриваемой упругой задаче
находим значение безразмерной постоянной
C
=
2
v
h
=
−
Δ
h
h
, совпада-
ющее со значением относительного обжатия рассматриваемой тонкой
полосы.
Касательные напряжения в твердом теле ограничены значени-
ем пластической постоянной материала деформируемой полосы
k
:
0
≤ |
τ
xy
| ≤
k
. По условию пластичности Треска – Сен-Венана
k
=
σ
s
/
2
,
а по условию пластичности Мизеса
k
=
σ
s
√
3
. Из первой формулы (15)
находим постоянную
s
, определяемую контактными силами трения
τ
к
=
mk
=
μ
∙
2
k
;
s
=
2
mk
h
=
4
μk
h
[2–4]. Здесь
m
= 2
μ
— параметры,
определяемые
τ
к
. Вследствие ограничений на параметр
τ
к
эти пара-
метры изменяются в следующих пределах:
0
≤
m
≤
1
;
0
≤
μ
≤
0
,
5
.
Параметр
μ
называется коэффициентом пластического трения [5].
Принимаем, что на краю упругой полосы при
x
= 0
σ
x
=
p
a
=
const
.
С использованием указанного граничного условия получаем следую-
щее значение постоянной интегрирования
N
=
ν
1
−
ν
p
a
+
EC
1
−
ν
2
.
Подставив значения постоянных интегрирования
s
,
C
и
N
в си-
стему уравнений (15), получаем искомое решение для сжатой тонкой
упругой полосы:
τ
xy
=
2
mk
h
y
;
v
=
2
v
к
h
y
=
−
Δ
h
h
y
;
σ
y
=
−
2
νmk
(1
−
ν
)
h
x
+
ν
1
−
ν
p
a
−
E
Δ
h
h
(1
−
ν
2
)
;
(16)
σ
x
=
−
2
mk
h
x
+
p
a
при
x
= 0
,
σ
x
= +
p
a
— напряжение натяжения на
краю упругой тонкой полосы (см. рис. 2).
Пластические деформации в тонкой упругой полосе.
Приведенные
формулы получены для тонкой полностью упругой полосы. При уве-
личении внешних нагрузок в деформируемой полосе появляются точ-
ки и области пластических деформаций. В таких областях выполняет-
ся условие пластичности, которое при плоской деформации идеально
пластического тела записывается в виде [3, 4]
(
σ
x
−
σ
y
)
2
+ 4
τ
2
xy
= 4
k
2
.
(17)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 3 107