14 / 16
что пластическая постоянная
k
=
σ
s
/
√
3
. Подставив это выражение
в предыдущую формулу для интенсивности напряжений, получим ее
значение,
ε
i
=
ε
s
=
σ
s
/E
, отвечающее началу пластических деформа-
ций во всей полосе.
В итоге приходим к выводу, что переход всей тонкой деформиру-
емой полосы в пластическое состояние определяется только ее отно-
сительным обжатием
Δ
H/H
и не зависит от коэффициента Пуассона
ν
и контактных сил трения (так как
γ
xy
= 0
на оси симметрии тонкой
полосы).
Деформации при разгрузке деформированной тонкой упругопла-
стической полосы.
Теоретическое определение остаточных деформа-
ций и напряжений, деформаций разгрузки в упругопластических де-
формированных изделиях и заготовках основано на применении тео-
ремы о разгрузке [4]. Согласно этой теореме для ее применения необ-
ходимы два решения одной и той же задачи для одних и тех же гранич-
ных условий: решение задачи пластичности и решение задачи упруго-
сти. Согласно теореме о разгрузке разность указанных двух решений
дает искомое решение поставленной задачи. В результате разности
двух указанных решений получаем решение для рассматриваемой де-
формированной заготовки (с нулевыми граничными условиями) и с
сохранившимися в ней после разгрузки остаточными напряжениями и
деформациями.
Рассмотрим случай сжатия полностью пластической полосы тол-
щиной
H
1
c контактными силами трения
τ
к
=
mk
. Согласно формулам
(34) решения Прандтля контактные нормальные напряжения в этом
случае, т.е. при
у
=
±
H
2
;
σ
к
=
σ
y
=
−
2
mk
H
1
x
−
kC
a
.
Решение задачи упругости для тонкой полосы таких же размеров
(
h
= 1
) и контактных сил трения (значение параметра
m
) определим
с помощью формул (16). Подставив в (16) значение коэффициента
Пуассона
ν
= 0
,
5
, получим в итоге для упругой полосы
σ
к
=
σ
y
=
−
2
mk
H
1
x
+
p
a
−
E
0
,
75
Δ
H
1
H
1
.
Моделируя упругую разгрузку пластически деформированной по-
лосы, из решения Прандтля вычитаем значения напряжений, найден-
ных в решении задачи разгрузки. Получим
−
kC
a
−
pa
+
E
0
,
75
Δ
H
1
H
1
= 0
,
откуда находим
Δ
H
1
=
4
3
E
(
C
a
k
+
p
a
)
H
1
.
(41)
116 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 3