новятся настолько малыми, что ими можно пренебречь, и в результате
получаем обыкновенную систему
(2
k
+ 1)
алгебраических уравнений
с
(2
k
+ 1)
неизвестными, которая решается стандартными методами
линейной алгебры. Определив из нее неизвестные величины, находим
функцию распределения температуры в цилиндре
T
(
r, τ
) =
A
T
0
2
+
k
X
n
=1
˜
A
T
n
(
r
) cos(
nωτ
) + ˜
B
T
n
(
r
) sin(
nωτ
)
.
(23)
Таким образом, используя классический метод разделения перемен-
ных Фурье, мы получаем приближенное аналитическое выражение,
пригодное для дальнейшего анализа.
Остановимся на вопросе о средней температуре цилиндра. Физиче-
ски квазистационарное состояние определяется равенством подведен-
ного к цилиндру и отведенного от него количества теплоты за период:
Z
τ
Δ
0
α
(
τ
)[
T
(
R, τ
)
−
T
с
(
τ
)]
dτ
= 0
.
Отсюда с учетом (8) и (20) находим среднюю температуру цилиндра
ˉ
T
=
h
ˉ
q
−
1
2
∞
X
n
=1
(
A
α
n
˜
A
T
n
(
R
) +
B
α
n
˜
B
T
n
(
R
))
i
ˉ
α.
(24)
Таким образом, точное значение
ˉ
T
может быть найдено только после
решения системы (22) и зависит от параметров среды, теплофизиче-
ских свойств материала и размеров цилиндра. Однако для характер-
ных в газовых турбинах условий и многих практических задач можно
пренебречь рядом в правой части уравнения (24) и записать прибли-
женную зависимость:
ˉ
T
≈
ˉ
q
ˉ
α
=
Z
τ
Δ
0
α
(
τ
)
T
с
(
τ
)
dτ
Z
τ
Δ
0
α
(
τ
)
dτ .
(25)
На практике искомые зависимости часто представляют в виде без-
размерных функций чисел и критериев подобия, что позволяет ис-
пользовать одно решение для целой совокупности подобных явлений.
Данный подход удобен и в нашем случае. Безразмерная избыточная
температура определяется по формуле:
θ
(ˆ
r,
ˆ
τ
) =
T
(ˆ
r,
ˆ
τ
)
−
ˉ
T
с
Δ
T
с
,
(26)
где
Δ
T
с
=
T
max
с
−
T
min
с
— размах колебаний температуры среды;
T
max
с
и
T
min
с
— наибольшее и наименьшее значения температуры среды за
период;
ˆ
r
=
r/R
— безразмерный радиус;
ˆ
τ
=
ωτ
— безразмерное
время. Безразмерная избыточная температура может быть получена
либо из размерного решения (23), либо из решения краевой задачи
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4 61
