предложена в ЛПИ (ныне СПбГПУ) [2], там же была разработана одна
из ее возможных конструкций [3].
В связи с высокой частотой вращения ротора турбины продолжи-
тельность контакта лопаток с рабочими телами крайне мала, поэтому
температурные волны, вызванные тепловым потоком переменного на-
правления, распространяются на незначительную глубину. Несмотря
на практически постоянную температуру во всем остальном объеме
лопаток, ее нестационарность в поверхностном слое вызывает термо-
циклические напряжения, способные повлиять на прочность лопаточ-
ного аппарата. Для их расчета необходимо знать температурное поле
лопатки, определение которого в общем случае представляет собой
сопряженную задачу газодинамики и теплообмена, решаемую числен-
ными методами. Ее решение требует значительных затрат времени и
вычислительных ресурсов, а полученный результат достаточно слож-
но проанализировать. Вместе с тем целесообразно перейти от лопат-
ки со сложной геометрией к телу простой геометрической формы,
допускающей получение аналитического решения, а взаимодействие
с потоками газа и охлаждающего агента описать с помощью закона
Ньютона–Рихмана (граничного условия III рода), т.е. задать на его по-
верхности нестационарные периодические температуру среды и коэф-
фициент теплоотдачи. Подобный подход качественно не повлияет на
характер температурного поля и позволит получить функциональную
зависимость, удобную для исследования.
В настоящей работе в качестве исследуемого объекта выбран ци-
линдр неограниченной длины с одинаковыми условиями теплообмена
на всей поверхности, что делает температуру функцией лишь радиуса
и времени. Это позволит получить решение, пригодное для практиче-
ского использования.
Математическая модель.
Для нахождения распределения темпе-
ратуры цилиндра по радиусу во времени необходимо решить уравне-
ние теплопроводности в цилиндрической системе координат
∂T
∂τ
=
a
1
r
∂
∂r
r
∂T
∂r
(1)
с граничными условиями
∂T
(0
, τ
)
∂r
= 0
, T
(0
, τ
)
6
=
∞
,
(2)
−
λ
∂T
(
R, τ
)
∂r
=
α
(
τ
)[
T
(
R, τ
)
−
T
с
(
τ
)]
(3)
и начальным условием
T
(
r,
0) =
T
0
(
r
)
,
(4)
где
T
=
T
(
r, τ
)
— температура цилиндра на радиусе
r
в момент време-
ни
τ
;
a
и
λ
— коэффициенты температуропроводности и теплопровод-
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4 55
