ности материала цилиндра;
R
— радиус цилиндра;
α
(
τ
)
— коэффици-
ент теплоотдачи;
T
с
(
τ
)
— температура среды;
T
0
(
r
)
— распределение
температуры в цилиндре в начальный момент времени.
Сложность поставленной задачи состоит в том, что из-за неста-
ционарности коэффициента теплоотдачи невозможно согласовать ре-
шение дифференциального уравнения (1) с граничным условием (3),
оставаясь в рамках классических методов математической физики. На
практике обычно приводят функцию температуры к виду интеграль-
ной зависимости от ее значения на поверхности, которое определяется
из решения интегрального уравнения Вольтерра II рода и представляет
собой бесконечный ряд последовательных приближений [4, 5]. Однако
выразить члены полученного ряда в явном виде удается лишь для про-
стых ядер уравнения. Также существуют приближенные методы [6],
применение которых, правда, ненамного упрощает возможность ис-
пользования найденных решений. Попытка получить распределение
температуры в цилиндре операционным методом при простых гармо-
нических зависимостях температуры среды и коэффициента теплоот-
дачи от времени была сделана в работе [7], но слишком формальное
применение теоремы смещения привело автора к неверному результа-
ту.
Вместе с тем авторы воспользовались известным подходом класси-
ческой теории теплопроводности [8]: поскольку практический интерес
представляет решение для квазистационарного состояния, являющее-
ся периодической функцией времени и не зависящее от начальных
условий (4), то предлагается искать его в виде ряда Фурье:
T
(
r, τ
) = ˜
A
T
0
(
r
) +
∞
X
n
=1
˜
A
T
n
(
r
) cos(
nωτ
) + ˜
B
T
n
(
r
) sin(
nωτ
)
,
(5)
где
ω
=
2
π
τ
Δ
— круговая частота;
τ
Δ
— период изменения параметров
среды;
˜
A
T
0
(
r
)
,
˜
A
T
n
(
r
)
и
˜
B
T
n
(
r
)
— функции координаты
r
, подлежащие
определению. Кроме того, представляем в виде ряда Фурье темпера-
туру среды
T
с
(
τ
) =
A
T
с
0
2
+
∞
X
n
=1
A
T
с
n
cos(
nωτ
) +
B
T
с
n
sin(
nωτ
)
,
(6)
коэффициент теплоотдачи
α
(
τ
) =
A
α
0
2
+
∞
X
n
=1
A
α
n
cos(
nωτ
) +
B
α
n
sin(
nωτ
)
,
(7)
а также их произведение, которое условно можно считать плотностью
теплового потока
q
(
τ
)
на поверхности тела с нулевой температурой,
56 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2011. № 4
