которое в матричной форме может быть записано так:
δ
Π
mod
=
δ
Π +
ZZ
Ω
c
δ
{
u
}
T
k
p
{
n
}{
n
}
T
{
u
} −
g
0
{
n
}
d
Ω = 0
.
(8)
Для решения вариационного уравнения (8) применим метод конеч-
ных элементов. Процедура МКЭ, основанная на представлении поля
перемещений с помощью вектора узловых перемещений
{
f
}
в виде
{
u
}
3
×
1
= [
N
]
3
×
n
{
f
}
n
×
1
,
где
[
N
]
— интерполяционные функции;
n
— количество степеней сво-
боды дискретизированной задачи [7], приводит уравнение (8) к следу-
ющему виду:
∂
Π
∂
{
f
}
+ [
K
c
]
{
f
} − {
F
c
}
= 0
.
(9)
Здесь
∂
Π
∂
{
f
}
=
∂
Π
∂f
1
,
∂
Π
∂f
2
, . . . ,
∂
Π
∂f
n
— вектор, компонентами кото-
рого являются производные функции полной потенциальной энергии
по компонентам вектора узловых перемещений;
[
K
c
] =
ZZ
Ω
c
k
p
[
N
]
T
{
n
}{
n
}
T
[
N
]
d
Ω
(10)
— матрица жесткости контакта,
{
F
c
}
=
ZZ
Ω
c
[
N
]
T
k
p
g
0
{
n
}
d
Ω
(11)
— вектор дополнительной внешней нагрузки, возникающей при кон-
такте.
Для линейно-упругой задачи
Π =
1
2
{
f
}
T
[
K
]
{
f
} − {
f
}
T
{
F
}
,
поэтому уравнение МКЭ (9) принимает вид
[
K
] + [
K
c
]
{
f
}
=
{
F
}
+
{
F
c
}
,
(12)
где
[
K
]
— матрица жесткости системы до вступления в контакт,
{
F
}
— вектор внешних сил.
В случае геометрически нелинейной задачи в уравнение (12) доба-
вляется слагаемое
{
F
(
int
)
nl
}
, учитывающее нелинейный характер зави-
симости внутренних сил от перемещений:
[
K
] + [
K
c
]
{
f
}
+
{
F
(
int
)
nl
}
=
{
F
}
+
{
F
c
}
.
(13)
24 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1
