9 / 17
работам А.А. Андронова, в частности [16]. Уравнение Матье в размер-
ной форме удобнее использовать при анализе реальных физических
объектов (например, при сопоставлении экспериментальных и расчет-
ных результатов, полученных для конкретной системы).
Вторая форма уравнения Матье — безразмерная с безразмерным
временем, использованная в классической работе [13], позже назван-
ная Н.В. Мак-Лахланом [14] канонической
d
2
ϕ
dτ
2
+ (
a
−
2
q
cos 2
τ
)
ϕ
= 0;
τ, ϕ
(
τ
)
∈
R
.
(2)
Здесь время
τ
— безразмерное, связанное с размерным временем
τ
=
tp/
2
. Связь размерных и безразмерных параметров в размер-
ном (1) и безразмерном (2) уравнениях Матье задается выражениями:
a
= 4(
p
1
/p
)
2
— частотный параметр (для обращенного маятника
a
—
величина отрицательная);
q
=
2
Ap
2
1
g
=
2
A
l
— относительный ампли-
тудный параметр.
Переход от размерной формы (1) к канонической безразмерной
форме (2) осуществляется при замене в (1):
t
=
2
τ
p
;
p
2
1
=
ap
2
4
;
μ
=
2
q
a
.
(3)
Главным преимуществом канонической формы является безразмер-
ность параметров и, соответственно, более общий характер выводов,
следующий из полученных результатов (результаты распространяют-
ся не на отдельный объект, а на некоторую совокупность или класс
объектов). Полученное один раз решение задачи устойчивости для
уравнения (2) с представлением решения (областей устойчивости и
неустойчивости) на плоскости безразмерных параметров
a
,
q
(диа-
граммы Айнса – Стретта) может быть использовано для маятника с
любыми параметрами. Необходимо лишь вычислить безразмерные па-
раметры
a
,
q
для данного маятника и определить положение изобража-
ющей точки на плоскости параметров диаграммы Айнса – Стретта (из
попадания изображающей точки в ту или иную область устойчивости
или неустойчивости диаграммы следует вывод об устойчивости или
неустойчивости маятника).
Третий вариант записи уравнения движения рассматриваемой си-
стемы базируется на канонических уравнениях Гамильтона [15]
dϕ
dτ
=
∂H
∂
˙
ϕ
,
d
˙
ϕ
dτ
=
−
∂H
∂ϕ
,
или
dϕ
dτ
= ˙
ϕ,
d
˙
ϕ
dτ
=
−
(
α
+
β
cos
τ
)
ϕ,
(4)
причем
H
=
1
2
˙
ϕ
2
−
(
α
+
β
cos
τ
) cos
ϕ
;
τ, ϕ
(
τ
)
∈
R
.
(5)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 6 41