10 / 17
Здесь
H
— функция Гамильтона;
˙
ϕ
— угловая скорость. Точкой здесь
и ниже обозначено дифференцирование по времени, в данном случае
по безразмерному
τ
. Безразмерное время здесь связано с размерным
временем
t
выражением
τ
=
pt
(через частоту возбуждения
р
). Связь
безразмерных параметров уравнений Гамильтона с размерными пара-
метрами маятника и параметрами возбуждения задается выражениями
α
=
g
(
p
2
l
)
=
p
1
p
2
, β
=
A
l
.
Каноническая (по Н.В. Мак-Лахлану) форма уравнения движения
прямого математического маятника с параметрическим возбуждени-
ем (3), записанная для безразмерных параметров
α, β
, эквивалентная
уравнениям Гамильтона (4), имеет вид
¨
ϕ
+ (
α
+
β
cos
τ
)
ϕ
= 0
.
(6)
Параметры
α, β
в уравнении движения (6) и, соответственно, в га-
мильтониане
H
(5), не совпадают с параметрами
a, q
в уравнении (2).
Каноническая гамильтонова форма уравнений движения типа (4), (5)
применялась, например, в [17].
При решении задачи устойчивости многозвенных маятников (обра-
щенных или прямых) используется одна из двух форм записи уравне-
ний движения: скалярная или векторно-матричная (с размерными или
безразмерными параметрами в каждой из двух указанных форм).
Приведем пример скалярной размерной формы записи уравнений
движения гетерогенных математических многозвенных идеальных
(без трения) маятников при моногармоническом вертикальном пара-
метрическом возбуждении
N
X
j
=1
m
i,j
l
j
¨
ϕ
j
+
g
0
m
1
,i
ϕ
i
= 0; (
i
= 1
,
2
, . . . , N
);
g
0
=
g
−
Ap
2
cos(
pt
);
m
i,j
=
N
X
k
=
j
m
k
,
(
i
≤
j
);
m
i,j
=
m
j,i
;
t, ϕ
i
(
t
)
∈
R
.
(7)
Выбор скалярной формы уравнений движения
N
-маятника обоснован
в случае использования аналитического метода решения задачи устой-
чивости, как, например, в [18].
Векторно-матричная форма удобнее при численном решении за-
дачи устойчивости. Приведем векторно-матричную безразмерную
форму уравнений движения параметрически возбуждаемой системы,
образованной последовательностью гомогенных математических ма-
ятников с идеальными связями и параметрическим возбуждением —
моногармоническими колебаниями оси подвеса маятника по вертика-
ли
M¨
ϕ
+
N
(
λ
−
γ
cos
τ
)C
ϕ
= 0
, t
∈
R
, ϕ
(
t
)
∈
R
N
,
(8)
где
M
— матрица инерционных коэффициентов;
C
— матрица квази-
42 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 6