11 / 17
жесткости;
ϕ
= (
ϕ
1
, . . . , ϕ
N
)
т
— вектор обобщенных координат — ма-
лых угловых отклонений звеньев маятника от вертикали;
λ
= (
p
0
/p
)
2
—
частотный параметр;
p
0
— собственная частота колебаний математи-
ческого маятника длиной, равной полной длине
N
-маятника
L
=
Nl
;
l
— длина одного звена;
γ
=
A/l
— амплитудный параметр. Векторно-
матричные уравнения движения обращенного
N
-маятника использо-
вались, в частности, в [19].
В настоящей работе при выборе между формализмом Лагранжа (1),
(2) и Гамильтона (4), (5) остановились на формализме Лагранжа, так
как преимущества канонических уравнений и переменных Гамиль-
тона для рассматриваемой конкретной системы и решаемой задачи
не были очевидными. В качестве неизвестных приняли обобщенные
координаты — угловые отклонения звеньев маятника от вертикали.
В связи с наличием в работе экспериментальной составляющей пред-
почтение отдано уравнениям движения в размерной форме (1), форме
А.А. Андронова —М.А. Леонтовича [16]. Выбор векторно-матричной
формы уравнений движения типа (8) объясняется использованием чи-
сленного решения задачи устойчивости, основанного на теории Фло-
ке [20].
С учетом изложенного, уравнения движения физического маятника
с
N
звеньями получены по уравнениям Лагранжа второго рода, что
при сделанных ранее допущениях приводит к векторно-матричному
дифференциальному уравнению с размерными параметрами
M
d
2
ϕ
(
t
)
dt
2
+ C (
t
)
ϕ
(
t
) = 0
, t
∈
R
, ϕ
(
t
)
∈
R
N
,
(9)
где
M
— положительно определенная симметрическая инерционная
матрица,
C (
t
)
— диагональная
T
-периодическая (
T
= 2
π/p
) матрица
квазижесткости;
ϕ
(
t
)
∈
R
N
,
ϕ
(
t
) =
{
ϕ
1
, ϕ
2
, . . . , ϕ
i
, . . . ϕ
N
}
— вектор
обобщенных координат — угловых отклонений звеньев маятника от
вертикали. Для обращенного трехзвенного маятника матрицы
M
и
C (
t
)
принимают вид
M =
I
1
+
l
2
c
1
m
1
+
l
2
1
(
m
2
+
m
3
)
l
1
(
l
c
2
m
2
+
l
2
m
3
)
l
1
l
c
3
m
3
l
1
(
l
c
2
m
2
+
l
2
m
3
)
I
2
+
l
2
c
2
m
2
+
l
2
2
m
3
l
2
l
c
3
m
3
l
1
l
c
3
m
3
l
2
l
c
3
m
3
I
3
+
l
2
c
3
m
3
;
(10)
C(
t
) =
Ap
2
cos (
pt
)
−
g
×
×
(
l
c
1
m
1
+
l
1
(
m
2
+
m
3
))
0
0
0
(
l
c
2
m
2
+
l
2
m
3
) 0
0
0
l
c
3
m
3
.
Для численного решения задачи устойчивости с использованием те-
ории Флоке необходимо уравнения движения (9), (10) представить в
нормальной форме
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 6 43