C
(
G
)
V
(сплошная кривая),
2Δ ˉ
G
max
при
ˉ
G
6
1
(штрихпунктирная линия)
и
2Δ ˉ
G
max
/
ˉ
G
при
ˉ
G
>
1
(штриховая линия) от
ˉ
G
. Ясно, что графики
зависимостей
C
(
K
)
V
,
2Δ ˉ
K
max
и
2Δ ˉ
K
max
/
ˉ
K
от
ˉ
K
идентичны приведен-
ным на этом рисунке.
Сближение двусторонних оценок.
В работе [17] предложен ва-
риационный принцип, позволяющий сблизить двусторонние оценки
упругих модулей неоднородного материала, которые (как и оценки,
определяемые формулами (5) и (6), не учитывают конкретную форму
включений. Соотношение для каждой такой уточненной оценки мож-
но представить в виде разности верхней оценки
M
+
оцениваемого
модуля упругости (объемного модуля
K
или модуля сдвига
G
) и по-
ложительной поправки, которая в общем случае зависит от объемного
модуля и модуля сдвига как включения, так и матрицы. Эти поправки
в случае оценки безразмерного объемного модуля
K/K
◦
композита
имеют вид [6]
Δ ˉ
K
1
=
( ˉ
K
−
1)
2
C
V
(1
−
C
V
)
ˉ
K
(1
−
C
V
) +
C
V
+ 4 ˉ
G
◦
/
3
,
Δ ˉ
K
2
=
( ˉ
K
−
1)
2
C
V
(1
−
C
V
)
ˉ
K
(1
−
C
V
) +
C
V
+ 4 ˉ
G
ˉ
G
◦
/
3
,
(9)
где
ˉ
G
◦
=
G
◦
/K
◦
, а для оценки безразмерного модуля сдвига
G/G
◦
Δ ˉ
G
1
=
( ˉ
G
−
1)
2
C
V
(1
−
C
V
)
ˉ
G
(1
−
C
V
) +
C
V
+ ˉ
G
1
,
Δ ˉ
G
2
=
( ˉ
G
−
1)
2
C
V
(1
−
C
V
)
ˉ
G
(1
−
C
V
) +
C
V
+ ˉ
G
2
,
где
ˉ
G
1
= (9 + 8 ˉ
G
◦
)
/
(6 + 12 ˉ
G
◦
)
и
ˉ
G
2
= ˉ
G
(9 ˉ
K
+ 8 ˉ
G
ˉ
G
◦
)
/
(6 ˉ
K
+ 12 ˉ
G
ˉ
G
◦
)
.
Формулы для поправок совпадают с соотношениями, получаемыми
в рамках обобщенного сингулярного приближения теории случайных
функций [6].
Ясно, что меньшая из поправок
Δ ˉ
K
1
и
Δ ˉ
K
2
(или
Δ ˉ
G
1
и
Δ ˉ
G
1
) по-
зволяет уточнить верхнюю оценку, а б´ольшая — нижнюю оценку соот-
ветствующего модуля упругости композита. При
K
•
6
=
K
◦
и
G
•
= ˉ
G
◦
из формул (9) следует
Δ ˉ
K
1
= Δ ˉ
K
2
, что приводит к совпадению уточ-
ненных верхней и нижней оценок объемного модуля композита, т.е.
формально к возможности вычислить истинное значение этого модуля.
На рис. 2 при
ˉ
K
= 0
,
1
и
ˉ
K
= 0
,
4
приведены графики зависимостей
от
C
V
двусторонних оценок
˜
K
+
и
˜
K
−
(штрихпунктирные и штриховые
линии), построенные по первым формулам (5) и (6), и графики зависи-
мостей уточненных двусторонних оценок
˜
K
+
= ˜
K
+
−
min(Δ ˉ
K
1
,
Δ ˉ
K
2
)
и
˜
K
−
= ˜
K
+
−
max(Δ ˉ
K
1
,
Δ ˉ
K
2
)
, построенные с учетом формул (9) при
ˉ
G
◦
= 0
,
4
и различных значениях
ˉ
G
(сплошные кривые соответствуют
значению
ˉ
G
= 1
, штриховые —
ˉ
G
= 0
,
5
, тонкие сплошные линии с
кружками —
ˉ
G
= 0
,
3
, со светлыми и темными ромбами —
ˉ
G
= 1
,
5
и
ˉ
G
= 2
,
5
, с треугольниками и квадратами —
ˉ
G
= 5
и
ˉ
G
= 10
).
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 5 59
