Осреднение упругих свойств включений и матрицы.
Наиболее
простой подход, дающий возможность оценить упругие свойства ком-
позита с изотропными включениями любой формы, связан с приме-
нением соотношений теории смесей [13], что позволяет для оценок
модулей упругости записать
˜
K
+
=
K
+
/K
◦
= 1
−
C
V
+ ˉ
KC
V
,
˜
G
+
=
G
+
/G
◦
= 1
−
C
V
+ ˉ
GC
V
,
(5)
где
ˉ
K
=
K
•
/K
◦
и
ˉ
G
=
G
•
/G
◦
. Идентичные оценки можно получить
осреднением напряжений в неоднородной линейно упругой изотроп-
ной среде, используя предположение, выдвинутое в 1910 г. В. Фойгтом,
об однородности ее деформированного состояния.
Модули упругости характеризуют жесткостные свойства материа-
ла, а свойства упругой податливости материала определяют величины,
обратные этим модулям. Тогда для оценок характеристик упругой по-
датливости в рамках моделей теории смесей получаем
1
/
˜
K
−
=
K
◦
/K
−
= 1
−
C
V
+
C
V
/
ˉ
K,
1
/
˜
G
−
=
G
◦
/G
−
= 1
−
C
V
+
C
V
/
ˉ
G.
(6)
Такие же оценки следуют из выдвинутого в 1929 г. А. Рейссом пред-
положения об однородности напряженного состояния неоднородной
среды, если провести осреднение деформации, считая среду изотроп-
ной и линейно упругой.
Нижние индексы “
+
” и “
−
” в формулах (5) и (6) указывают на то,
что справедливы неравенства
˜
K
+
>
˜
K
−
и
˜
G
+
>
˜
G
−
. Действительно, из
этих формул, например, для оценок модуля сдвига следует
˜
G
+
−
˜
G
−
= ( ˉ
G
−
1)
2
(1
−
C
V
)
C
V
)
/
( ˉ
G
(1
−
C
V
) +
C
V
)
>
0
,
(7)
поскольку значение дроби в средней части этого соотношения при
положительном знаменателе и неотрицательном числителе также бу-
дет неотрицательным. Эта дробь равна нулю при
ˉ
G
= 1
, а также при
C
V
= 0
и
C
V
= 1
, т.е. в случае однородного материала, когда оценки
G
+
и
G
−
совпадают между собой и с эффективным значением
G
мо-
дуля сдвига композита. Такой же результат справедлив и для разности
˜
K
+
−
˜
K
−
.
В работах [14, 15] показано, что для представительного объема
V
неоднородной среды, размеры которого существенно превосходят
размеры неоднородностей, потенциальную энергию деформации до-
пустимо представить через осредненные компоненты тензоров напря-
жений и деформации, т.е.
1
2
Z
V
ˆ
σ
∙ ∙
ˆ
ε dV
=
1
2
Z
V
ˆ
ε
∙ ∙
ˆCˆ
ε dV
=
=
1
2
Z
V
ˆ
σ
∙ ∙
ˆS
∙ ∙
ˆ
σ dV
=
V
2
h
ˆ
σ
i ∙ ∙h
ˆ
ε
i
,
(8)
56 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 5
