второго ранга напряжений
ˆ
σ
и деформации
ˆ
ε
соответственно
h
ˆ
σ
i
=
1
V
Z
V
ˆ
σdV
и
h
ˆ
ε
i
=
1
V
Z
V
ˆ
εdV
связаны искомыми тензорами коэффициентов упругости
ˆC
или по-
датливости
ˆS
соответственно:
h
ˆ
σ
i
= ˆC
∙ ∙h
ˆ
ε
i
или
h
ˆ
ε
i
= ˆS
∙ ∙h
ˆ
σ
i
,
(3)
которые в данном случае принято называть эффективными, как и мо-
дули упругости
K
и
G
, через которые, согласно формулам (1), их
можно выразить.
Для композита в силу его неоднородности локальные значения
каждого из тензоров
ˆ
σ
(
M
)
и
ˆ
ε
(
M
)
в окрестности точки
M
2
V
можно
представить суммой осредненной и флуктуационной составляющих
[6], т.е.
ˆ
σ
(
M
) =
h
ˆ
σ
i
+ ˆ
σ
0
(
M
)
и
ˆ
ε
=
h
ˆ
ε
i
+ ˆ
ε
0
(
M
)
. Тогда локальная
связь между этими тензорами с использованием закона Гука примет
вид (обозначение точки
M
2
V
опущено)
h
ˆ
σ
i
+ ˆ
σ
0
= (
h
ˆC
i
+ ˆC
0
)
∙ ∙
(
h
ˆ
ε
i
+ˆ
ε
0
i
,
h
ˆ
ε
i
+ˆ
ε
0
= (
h
ˆS
i
+ ˆS
0
)
∙ ∙
(
h
ˆ
σ
i
+ ˆ
σ
0
)
,
где
h
ˆC
i
,
h
ˆS
i
и
ˆC
0
,
ˆS
0
— осредненные и флуктуационные составляю-
щие тензоров коэффициентов соответственно упругости и податливо-
сти в объеме
V
, компоненты которых зависят от локальных значений
модулей упругости матрицы композита и включений. Если провести
осреднение этих соотношений, то с учетом равенств
h
ˆ
σ
0
i
= 0
и
h
ˆ
ε
0
i
= 0
получим
h
ˆ
σ
i
=
h
ˆC
i ∙ ∙h
ˆ
ε
i
+
h
ˆC
0
∙ ∙
ˆ
ε
0
i
,
h
ˆ
ε
i
=
h
ˆS
i ∙ ∙h
ˆ
σ
i
+
h
ˆS
0
∙ ∙
ˆ
σ
0
i
.
(4)
Из сопоставления соотношений (3) и (4) следует, что
h
ˆC
i 6
= ˆC
и
h
ˆS
i 6
= ˆS
, т.е. осредненные тензоры коэффициентов упругости и по-
датливости в общем случае не совпадают с тензорами эффективных
коэффициентов соответственно упругости и податливости композита.
Если в первом приближении принять линейные соотношения
ˆ
ε
0
=
= ˆP
∙ ∙h
ˆ
ε
i
и
ˆ
σ
0
= ˆQ
∙ ∙h
ˆ
σ
i
, то из формул (3) и (4) получим
ˆC =
h
ˆC
i
+
+
h
ˆC
0
∙ ∙
ˆP
i
и
ˆS =
h
ˆS
i
+
h
ˆS
0
∙ ∙
ˆQ
i
. Нахождение поправок
h
ˆC
0
∙ ∙
ˆP
i
и
h
ˆS
0
∙ ∙
ˆQ
i
к осредненным значениям тензоров
ˆC
и
ˆS
является суще-
ственно более сложной задачей по сравнению с процедурой осред-
нения этих тензоров. Пути нахождения таких поправок и составляют
особенности различных подходов к оценке упругих свойств компо-
зитов. Но сначала целесообразно рассмотреть процедуру осреднения
свойств включений и матрицы.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 5 55
