Сравнительный анализ оценок модулей упругости композита. Изотропные шаровые включения - page 10

Если мысленно извлечь включение из окружающей среды и без
изменения его напряженного состояния создать в нем дополнитель-
ную деформацию, определяемую тензором ˆε00, то после возвращения
включения на прежнее место его деформированное состояние будет
определять сумма тензоров ˆε0 + ˆε •, причем ˆε 00 = ˆW ∙ ∙ ˆ ε •, где [6]
ˆW = 3(1 − ν ) ˆV/(1 + ν ) + (15/2)(1 − ν ) ˆD/(4 − 5ν ), (10)
а ν = 1/2 − 3G/(6 K + 2G ) — коэффициент Пуассона окружающей
среды. При этом напряженное состояние включения будет характери-
зовать тензор
ˆ σ• = ˆC ∙ ∙(ˆε0 + ˆε • − ˆε00) = ˆC ∙ ∙(ˆε0 + ˆε •) − ˆC∙ ∙ ˆW∙ ∙ ˆ ε •. (11)
Теперь заменим шаровое включение таким же включением, но
свойства которого определяет тензор ˆC• коэффициентов упругости
реального включения в рассматриваемом композите. При одинаковой
деформации в прежнем и новом включениях в последнем возникнет
напряженное состояние, определяемое тензором
ˆ σ •
1 = ˆC• ∙ ∙(ˆε 0 + ˆε• ) . (12)
Такая замена будет эквивалентна, если напряжения в прежнем и но-
вом включениях совпадут. Тогда, приравняв правые части равенств
(11) и (12), найдем тензор ˆ ε • = ˆu• ∙ ∙ ˆε0 , характеризующий возмущение
деформации реального включения относительно однородного дефор-
мированного состояния композита, где
ˆu• = ( ˆC• − ˆC + ˆC ∙ ∙ ˆW)−1 ∙ ∙ ˆC∙ ∙ ˆW− ˆI, (13)
и тензор избыточных напряжений Δˆσ • = ˆσ • − ˆ σ 0 = ˆv• ˆε 0, где с учетом
формул (11) и (13)
ˆv• = ( ˆC − ˆC∙ ∙ ˆW) ∙ ∙ ˆu•. (14)
Форма частиц матрицы, связывающей в композите шаровые включе-
ния, при хаотическом расположении включений является неопреде-
ленной. Примем в качестве средней статической форму этих частиц
шаровой. Взаимодействие шаровой частицы матрицы с изотропной
окружающей средой будут определять соотношения, аналогичные
полученным ранее для шарового включения, а именно возмущение
деформации в такой частице будет определять тензор ˆε◦ = ˆu◦ ∙ ∙ˆε0 , где
ˆu◦ = ( ˆC◦ − ˆC + ˆC ∙ ∙ ˆW)−1 ∙ ∙ ˆC∙ ∙ ˆW− ˆ
I, (15)
а избыточные напряжения в этой частице — тензор Δˆσ◦ = ˆσ◦ − ˆ σ0 =
= ˆv◦ ˆε0 , где
ˆv◦ = ( ˆC − ˆC∙ ∙ ˆW) ∙ ∙ ˆu◦. (16)
Осреднение по объему композита возмущений деформации и на-
пряжений по всем включениям и частицам матрицы должно, согласно
62 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 5