методу самосогласования, привести к нулевому результату, т.е.
h
ˆ
ε
◦
i
(1
−
C
V
)+
h
ˆ
ε
•
i
C
V
= ˆO
2
,
h
Δˆ
σ
◦
i
(1
−
C
V
)+
h
Δˆ
σ
•
i
C
V
= ˆO
2
,
(17)
где
ˆO
2
— тензор второго ранга с нулевыми компонентами. Все тензоры
второго ранга, входящие в левые части этих равенств, включают один
и тот же множитель
ˆ
ε
0
, определяющий макроскопически однородное
деформированное состояние композита. Поэтому при осреднении этот
множитель можно опустить и перейти к осреднению тензоров четвер-
того ранга, определенных формулами (13)–(16):
h
ˆu
◦
i
(1
−
C
V
) +
h
ˆu
•
i
C
V
= ˆO
4
,
h
ˆv
◦
i
(1
−
C
V
) +
h
ˆv
•
i
C
V
= ˆO
4
.
(18)
Тензоры
ˆv
◦
и
ˆv
•
по сравнению соответственно с тензорами
ˆu
◦
и
ˆu
•
имеют одинаковый дополнительный множитель
ˆC
−
ˆC
∙ ∙
ˆW
. Поэтому
осреднение левых частей обоих равенств (17) даст одинаковый резуль-
тат, т.е. достаточно осреднить более простые по структуре тензоры
ˆu
◦
и
ˆu
•
.
В формулы (13) и (15) входит внутреннее произведение изотроп-
ных тензоров
ˆC
и
ˆW
. С учетом формул (1), (2) и (11) получим
ˆC
∙ ∙
ˆW
◦
= 9
K
1
−
ν
1 +
ν
ˆV + 15
G
1
−
ν
4
−
5
ν
ˆD
.
Тогда, продолжив преобразования, вместо формулы (13) с учетом за-
висимости
ν
от
K
и
G
запишем
ˆu
•
=
3
K
+ 4
G
3
K
•
+ 4
G
−
1 ˆV +
5
G
(3
K
+ 4
G
)
6
G
•
(
K
+ 2
G
) +
G
(9
K
+ 8
G
)
−
1 ˆD
,
а вместо формулы (15) —
ˆu
◦
=
3
K
+ 4
G
3
K
◦
+ 4
G
−
1 ˆV +
5
G
(3
K
+ 4
G
)
6
G
◦
(
K
+ 2
G
) +
G
(9
K
+ 8
G
)
−
1 ˆD
.
Из этих формул следует, что тензоры четвертого ранга, входящие в
первое равенство (17), являются изотропными. Операция осреднения
таких тензоров в левой части этого равенства равносильна с учетом
равенства
ˆI = ˆV + ˆD
объединению коэффициентов при изотропных
тензорах
ˆV
и
ˆD
. В итоге получаем систему двух алгебраических урав-
нений относительно искомых модулей
K
и
G
:
(3
K
+ 4
G
)(1
−
C
V
)
3
K
◦
+ 4
G
+
(3
K
+ 4
G
)
C
V
3
K
•
+ 4
G
= 1
,
5
G
(3
K
+ 4
G
)(1
−
C
V
)
6
G
◦
(
K
+ 2
G
) +
G
(9
K
+ 8
G
)
+
5
G
(3
K
+ 4
G
)
C
V
6
G
•
(
K
+ 2
G
) +
G
(9
K
+ 8
G
)
= 1
.
(19)
На рис. 4 квадраты и ромбы соответствуют значениям отношений
˜
K
=
K/K
◦
и
˜
G
=
G/G
◦
, следующим из решения системы уравнений
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2014. № 5 63
