большинство подходов к оценке упругих свойств композитов с ша-
ровыми включениями не учитывает конкретный размер включений и
их расположение. Для удобства сравнения различных оценок будем
считать, что включения могут иметь размеры от некоторого конечного
до бесконечно малого, т.е. возможно заполнение всех пустот между
включениями и поэтому
C
V
2
[0
,
1]
.
Полагаем известными объемные модули
K
◦
,
K
•
и модули сдвига
G
◦
,
G
•
соответственно матрицы и включений. Расположение включе-
ний принимаем случайным, что позволит считать композит макроско-
пически изотропным, оцениваемые упругие свойства которого опре-
деляются объемным модулем
K
и модулем сдвига
G
. Через эти мо-
дули можно выразить продольный модуль упругости (модуль Юнга)
E
= 9
KG/
(3
K
+
G
)
и коэффициент Пуассона
ν
= 1
/
2
−
3
G/
(6
K
+2
G
)
композита [11].
Основные соотношения.
Упругие характеристики включений,
матрицы и композита в целом можно представить в одинаковой тен-
зорной форме [6] (на примере характеристик композита):
ˆC = 3
K
ˆV + 2
G
ˆD
,
ˆS = 1
/
(3
K
)V + 1
/
(2
G
) ˆD
,
(1)
где
ˆC
и
ˆS
— тензоры четвертого ранга коэффициентов упругости и по-
датливости, а
ˆV
и
ˆD
— тензоры четвертого ранга, являющиеся соответ-
ственно объемной и девиаторной составляющими единичного тензора
четвертого ранга
ˆI = ˆV + ˆD
. Если использовать единичный тензор
второго ранга с компонентами
δ
ij
,
i, j
= 1
,
2
,
3
(
δ
ij
= 1
при
i
=
j
и
δ
ij
= 0
при
i
6
=
j
), то компоненты этих составляющих примут вид
V
ijmn
=
δ
ij
δ
mn
/
3
, D
ijmn
= (
δ
im
δ
jn
+
δ
in
δ
jm
)
/
2
−
V
ijmn
, m, n
= 1
,
2
,
3
.
С учетом этих формул, правил суммирования слагаемых по повторя-
ющимся в сомножителях латинским индексам и равенств
δ
ii
ˉ3
мож-
но установить, что [6]
V
ijmn
V
mnkl
=
V
ijkl
,
D
ijmn
D
mnkl
=
D
ijkl
и
V
ijmn
D
mnkl
= 0
,
k, l
= 1
,
2
,
3
, т.е.
ˆV
∙ ∙
ˆV
,
ˆD
∙ ∙
ˆD = ˆD
,
ˆV
∙ ∙
ˆD = ˆO
4
,
(2)
где
ˆO
4
— тензор четвертого ранга с нулевыми компонентами, а каждая
из точек между сомножителями в произведении тензоров означает
свертывание по индексу, одинаковому в обоих сомножителях [12].
Тензоры
ˆV
и
ˆD
и представленные через них в формулах (1) тен-
зоры
ˆC
и
ˆS
являются изотропными, т.е. их компоненты не зависят
от ориентации осей выбранной системы прямоугольных декартовых
координат.
Выделим в рассматриваемом композите некоторый представитель-
ный объем
V
, осредненные параметры которого отражают свойства
этого композита в целом. Осредненные по объему
V
композита па-
раметры будем заключать в угловые скобки. Осредненные тензоры
54 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2014. № 5
