δ
¨
ξ
(
τ
) + 4
πζf
ax
δ
˙
ξ
(
τ
) + 4
π
2
f
2
ax
ξ
0
+
δξ
(
τ
) +
c
ξ
ψ
0
+
δψ
(
τ
) =
=
−
4
π
2
f
2
ax
κ
q
1 +
qn
c
δξ
(
τ
)
−
δξ τ
−
1
n
c
;
δ
¨
ψ
(
τ
)+
μ
ζ
4
πζf
ax
δ
˙
ψ
(
τ
)+4
π
2
f
2
rot
ψ
0
+
δψ
(
τ
) +
c
ψ
ξ
0
+
δξ
(
τ
) =
=
−
μ
P
4
π
2
f
2
ax
κ
q
1 +
qn
c
δξ
(
τ
)
−
δξ τ
−
1
n
c
.
(9)
Решение уравнений (9) можно искать в виде
δξ
(
τ
) =
C
1
exp (2
πn
c
λτ
);
δψ
(
τ
) =
C
2
exp (2
πn
c
λτ
)
.
Введем обозначения
F
ax
=
f
ax
n
c
, F
rot
=
f
rot
n
c
, K
=
κn
c
. При подста-
новке выбранного вида решений получим следующее уравнение для
определения постоянных
C
1
, C
2
в векторно-матричной форме:
G
11
G
12
G
21
G
22
C
1
C
2
= 0
,
(10)
где
G
11
=
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
ax
[1 +
K
−
K
exp (
−
2
πλ
)] ;
G
12
=
c
ξ
;
G
21
=
c
ψ
+
μ
P
F
2
ax
[
K
−
K
exp (
−
2
πλ
)] ;
G
22
=
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
rot
.
Равенство нулю левой части уравнения (10) соблюдается при вы-
полнении условия
det[
G
] = 0
, т.е.
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
ax
[1 +
K
−
K
exp (
−
2
πλ
)]
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
rot
=
=
c
ξ
c
ψ
+
μ
P
F
2
ax
[
K
−
K
exp (
−
2
πλ
)]
,
откуда получаем следующую совокупность при
c
ξ
=
c
ψ
= 0
:
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
ax
[1 +
K
−
K
exp (
−
2
πλ
)] = 0;
λ
2
+ 2
ζF
ax
λ
+
F
2
rot
= 0
.
(11)
Заметим сразу, что в данной системе невозможна дивергентная
форма потери устойчивости процесса непрерывного резания, так как
F
2
ax
6
= 0
, F
2
rot
6
= 0
. Здесь речь может идти только о динамической
бифуркации — бифуркации Пуанкаре–Андронова–Хопфа. При перехо-
де через критические значения параметров возникают автоколебания,
10 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2007. № 1
