Полученные уравнения электромеханических колебаний (7) и обра-
зования новой поверхности в процессе резания (8) являются нелиней-
ными. Источниками нелинейности в системе служат:
•
пондеромоторные силы;
•
связь продольных перемещений якорей и дополнительной массы
с поперечными перемещениями якорей;
•
зависимость толщины срезаемого слоя от перемещений инстру-
мента (прерывистость резания);
•
нелинейность закона резания.
Аналитическое решение.
Система дифференциальных уравне-
ний (7) естественно содержит малый параметр
ε
=
J
1
h
0
/l
(1
. . .
10)10
−
4
. Поэтому в случае, когда сила резания равна ну-
лю, можно получить приближенное аналитическое решение одним из
асимптотических методов. Воспользуемся
методом многомасштаб-
ных разложений
. Этот метод позволяет получить равномерно при-
годное решение, которое можно использовать для любых моментов
времени
τ >
0
.
Введeм новые временн ´ые переменные [9]:
t
0
=
τ, t
1
=
ε τ, t
2
=
ε
2
τ, . . . , t
j
=
ε
j
τ,
где
t
0
— основное, “быстрое” время;
t
j
при
j >
0
— “медленное” вре-
мя. Величины
t
j
представляют собой различные масштабы времени.
Производные по времени
τ
преобразуются следующим образом:
d
d τ
=
∂
0
+
ε ∂
1
+
ε
2
∂
2
+
. . .
;
d
2
d τ
2
=
∂
0
2
+ 2
ε ∂
0
∂
1
+
ε
2
∂
1
2
+ 2
∂
0
∂
2
+
. . . ,
где
∂
j
=
∂/∂ t
j
. Решения уравнений (7) будем искать в виде рядов
по
ε
:
g
=
g
(
t
0
, t
1
, . . . , ε
) =
∞
X
j
=0
ε
j
g
j
,
где
g
=
{
φ
1
, φ
2
, ξ, ζ
}
. Подставляя ряды в уравнения (7) и собирая
слагаемые при соответствующих степенях
ε
, получаем систему рек-
курентных уравнений для определения составляющих искомых функ-
ций
1
. Система для определения функций с индексом “
0
” называется
порождающей
и в рассматриваемом случае имеет вид
∂
0
φ
10
=
u
sin(2
π ν t
0
);
∂
0
φ
20
=
u
sin(2
π ν t
0
);
∂
0
2
ξ
0
+ 4
π α
1
p
1
ξ
0
0
+ 4
π
2
p
1
2
ξ
0
=
φ
20
2
−
φ
10
2
;
∂
0
2
ζ
0
+ 4
π α
2
p
2
ζ
0
0
+ 4
π
2
p
2
2
ζ
0
= 0
.
1
Для дальнейших выкладок заменим
μ
=
ε σ
, где
σ >
0
.
68 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1
