Устойчивость решения можно определить по собственным числам
матрицы Якоби системы (12)
J=
∂P
1
∂A
1
∂P
1
∂A
2
∂P
2
∂A
1
∂P
2
∂A
2
=
σ
a
−
c
−
b
(3
A
2
1
−
A
2
2
)
c
+ 2
b A
1
A
2
c
+ 2
b A
1
A
2
a
−
c
+
b
(
A
2
1
−
3
A
2
2
)
!
.
(15)
Решение будет устойчиво, если корни характеристического уравнения
λ
2
+
s
1
λ
+
s
2
= 0
(16)
матрицы (15) будут иметь отрицательные действительные части. Здесь
коэффициенты
s
1
, s
2
имеют вид
s
1
= 2
σ
(
b
(
A
2
1
+
A
2
2
) +
c
−
a
)
,
s
2
=
σ
2
a
2
−
b
(
A
1
−
A
2
)
2
−
2
c
+ 3
b
(
A
1
+
A
2
)
2
−
−
2
a c
+
b A
1
2
+
A
2
2
.
Чтобы действительные части корней характеристического уравне-
ния (16) были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были
положительными его коэффициенты:
s
1
>
0
, s
2
>
0
.
Для несимметричных решений, используя уравнение (14), из усло-
вия для
s
2
получаем невыполняемое неравенство
b
2
σ
2
A
1
2
−
A
2
2 2
<
0
.
Отсюда делаем вывод, что несимметричные решения неустойчивы.
Для симметричного решения условия устойчивости решения име-
ют вид
(
a
−
2
c
)
2
(
c
−
a
) + 2
b e
2
>
0;
a
(
a
−
2
c
)
2
−
4
b e
2
a
−
2
c
>
0
.
В симметричном режиме первые гармоники сил, действующих на
якорь со стороны обоих электромагнитов, складываются, остальные —
уничтожаются, поэтому
ξ
0
=
u k
1
δ
π ν
2
e
a
−
2
c
cos(2
π νt
0
+
ψ
ξ
)
,
т.е. колебания гармонические. Возвращаясь к исходным безразмерным
параметрам, получаем
ξ
0
=
|
A
ξ
|
cos(2
π νt
0
+
ψ
ξ
)
,
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2008. № 1 71
