Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности в телах простой геометрической формы

7 / 17

В.Н. Елисеев, В.А. Товстоног, Т.В. Боровкова
118 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1
   
    1
1 1
3
1 1 ξ ξ
φ ξ β φ ξ
ψ ξ β ψ ξ
, b

   
  
 


 
(33)
         
   
 
1
1 1 1 2
4 1
1 1 ξ ξ
Fo α φ ξ β φ ξ ξ ξ
α ψ ξ ξ
,
β ψ
f H
b H



   
 
 

 
(34)
     
        
    
1 ξ
φ ξ ξ
ξ ξ ,
φ ξ ψ ψ ξ φ ξ
d
H F (35)
     
        2
ψ ξ ξ
ξ ξ ,
φ ξ ψ ξ ψ ξ φ ξ
d
H F
    (36)
  ψ ξ и   φ ξ — функции, образующие решение однородного дифференциаль-
ного уравнения (1) (при  
Fo θ ξ 0) F    для некоторых частных случаев приве-
дены в табл. 2 [12, 13].
Таблица 2
Решение однородного дифференциального уравнения (1)
Форма тела и коэффициенты
в уравнении (1)
Однородное урав-
нение теплопро-
водности
Функция
 
ψ ξ
Функция
 
φ ξ
Пластина ξ ξ 0 b c  * θ 0  ξ 1
Пористая пластина, охлаждаемая
жидкостью: ξ 0 c  ,     

 ж
ξ
к λ 1 Π
p mC l
b K
* * θ θ 0Kп       exp ξKп 1
Полый или сплошной цилиндр:
ξ ξ
1
0, c b  

* * 1 θ θ 0
ξ
    lnξ 1
Сплошной или полый шар:
ξ 0, c  ξ
2
ξ
b 
* * 2 θ θ 0
ξ
    1
ξ
1
Ребро (стержень) постоянного
сечения:   2
ξ , c ml   ξ 0, b 
0
Π
m S



0 (Π, S — периметр и площадь попе-
речного сечения стержня)
 2
* * θ θ 0 ml       exp ξml    exp ξml
Ребро треугольного и трапециевидно-
го поперечного сечения с малым уг-
лом при вершине:  2
ξ ξ , 1, c ml b   
/ λδ m  
 2
* * * ξθ θ θ
0
ml     
  
0 2 ξ I ml 0 (2 ξ ) K ml
Круглое ребро постоянной толщины
2δ:  2
ξ , c ml   ξ
1 ,
b 
 / λδ m  
 2
* * * 1 θ θ θ
ξ
0
ml     
  
0 ξ I ml  
0 ξ K ml
Примечание. 0 , I 0 K — модифицированные функции Бесселя первого и второго
рода нулевого порядка [13].