8 / 17
Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1
119
В случае отсутствия в теле внутренних источников (стоков) теплоты (пола-
гая
ξ
ξ 0)
F H
выражение (28) принимает более простой вид
*
3
3
4
θ ξ
ψ ξ
φ ξ ,
c
c
(37)
константы
3
c
и
4
c
определяют по формулам (29) и (30),
1
b
и
3
b
находят из (31)
и (33), а
2
b
и
4
b
определяют из выражений
2
2
2
2
2
ξ ξ
Fo
φ ξ β φ ξ
,
f
b
(38)
1
1
4
1
1
ξ ξ
Fo
ψ ξ β ψ ξ
.
f
b
(39)
Складывая выражение (26) с (28) и вычитая из полученной суммы правую
часть (27), получаем окончательное решение задачи (1)–(4) с улучшенной схо-
димостью ряда
2
2 1
*
μ Fo
3
2
1
θ ξ, Fo θ ξ
μ , ξ ,
μ
n
n
n
n
F P P f e K
(40)
где
*
3
θ ξ
— представлена формулой (28).
Использование формулы (40) для определения одномерного нестационар-
ного температурного поля в телах простой геометрической формы на основе
единого алгоритма его расчета может оказаться удобным и оправданным,
например, в процессе анализа работоспособности теплонагруженных элементов
конструкции, подвергнутой декомпозиции. Такой анализ часто связан с опреде-
лением температурного состояния тел простой формы, выполненных из мате-
риалов той или иной структуры, а в отдельных случаях — с наличием в них
внутренних источников теплоты различной природы и законом распределения
по координате и во времени (например, воздействие мощного потока электро-
магнитного излучения на остекление летательного аппарата), с заданием неоди-
наковых условий теплообмена на границах тела и пр.
Формула (40) позволяет получать решения многих частных одномерных за-
дач нестационарной теплопроводности с помощью достаточно простых алгеб-
раических операций и выражений для интегралов, как правило, табличных.
Процедура решения конкретной краевой задачи предусматривает наличие
ее математической модели, но уже не нуждается в интегрировании дифферен-
циального уравнения теплопроводности.
Алгоритм решения
. Порядок расчета одномерного нестационарного тем-
пературного поля в телах простой формы на основе предлагаемого алгоритма
может быть представлен в виде следующей последовательности действий.
1. Формулируем математическую модель рассматриваемой задачи в безраз-
мерной форме.