9 / 17
В.Н. Елисеев, В.А. Товстоног, Т.В. Боровкова
120
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1
2. Сопоставляем модель рассматриваемой задачи с общей математической
моделью (1)–(4) и записываем значения следующих параметров:
ξξ ξ ξ
, , ,
ξ ,
a b c F
1 2 1 2
, , β , β ,
1
2
1 2
Fo ,
Fo , ξ , ξ .
f
f
3. Из табл. 2 или справочника по обыкновенным дифференциальным урав-
нениям [12] выбираем функции
ψ ξ
и
φ ξ ,
образующие решение однород-
ного дифференциального уравнения теплопроводности (37).
4. Из формул (35), (36), (31)–(34) и (29), (30) последовательно находим
1
ξ ,
H
2
ξ ,
H
1
,
b
2
,
b
3
,
b
4
,
b
3
c
и
4
.
c
5. Записываем выражение для определения стационарного температурного
поля в виде (28) или (37), подставляя в них найденные ранее значения
3
,
c
4
c
и
1
ξ ,
H
2
ξ ,
H
в зависимости от условий рассматриваемой задачи.
6. Из формул (8) и (20) находим
ρ ξ ,
ξ
p
и
ξ .
q
7. Из табл. 1 выбираем функции
ψ μ , ξ ,
n
φ μ , ξ ,
n
из формул (22) и (23)
находим константу
2
B
и уравнение для определения собственных чисел
μ .
n
8. Обращаясь к формулам (24), (10) и (9), получаем
μ , ξ ,
n
K
N
и
μ , ξ .
n
K
9. Из формул (11) и (12) находим
f
и
,
F
а из соотношений (13)–(16) —
выражения для
1
P
и
2
.
P
10. Используя формулу (40) совместно с результатами пп. 5–9, получаем
решение задачи, сформулированной в п. 1.
Пример.
Определим нестационарное температурное поле в частично про-
зрачной плоской пластине, нагреваемой с одной стороны потоками горячего газа
плотностью
т
q
и излучения
л,0
q
и охлаждаемой с другой стороны за счет конвек-
ции.
Представим математическую модель рассматриваемой задачи в следующем
виде:
2
Bu
л,0
2
;
x
T T
c
k q e
x
(41)
0
;
т
x
T q
x
(42)
ж 2 ж
;
x h
T
T T
x
(43)
0
,0 ,
Т x T
(44)
где
,
T T x
;
k
— коэффициент поглощения;
Bu
x
kx
— критерий Бугера;
2
T
— температура охлаждаемой поверхности пластины.
Алгоритм решения
.
1. Представим задачу (41)–(44) в безразмерной форме:
2
Buξ
л
2
θ θ Ki Bu ;
Fo ξ
e
(45)