Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности в телах простой геометрической формы

Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности…

ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1

113

Определение температурного состояния конструкции в широком диапазоне

изменения режимов ее работы — один из важнейших этапов проектно-

конструкторских работ. В настоящее время для этой цели наиболее широко ис-

пользуют как необходимый этап создания и практического применения соот-

ветствующего программного обеспечения [4] численные методы расчета [3],

при верификации которых выполняют сравнение с результатами точных анали-

тических решений тестовых задач. Вместе с тем аналитические методы решения

задач теплопроводности представляют практический интерес и с точки зрения

прикладных расчетов.

Методы решения одномерных задач нестационарной теплопроводности в

телах простой геометрической формы и примеры их использования приведены,

в частности, в работах [5–9]. Однако различия, нередко имеющие место в поста-

новке известной и рассматриваемой задач, отражающие особенности теплооб-

мена внутри материала элемента конструкции (свободный член в неоднородном

дифференциальном уравнении, его коэффициенты) и на его поверхностях, за-

трудняют использование известных решений.

В связи с этим полезно для практики использовать предлагаемый далее еди-

ный алгоритм решения большой группы одномерных задач нестационарной теп-

лопроводности для тел простой геометрической формы в виде пластин, цилиндров,

сфер и стержней, выполненных из материалов монолитной или пористой структур.

Постановка задачи и ее решение

. В основе предлагаемого алгоритма лежит

использование метода конечных интегральных преобразований. Вывод соответ-

ствующего дифференциального уравнения теплопроводности, а также формули-

ровка краевой задачи в общей форме рассмотрены в работе [10]. Для условий не-

стационарного теплообмена математическая модель этой задачи имеет вид

 

ξξ

θ θ θ ξ ;

c F





  



(1)

 



 



1 1

ξ ξ α θ ξ β θ ξ

Fo ;

(2)

 

 

 



ξ ξ :

θ ξ β θ ξ

Fo ;

(3)

 



Fo 0: θ ξ, 0

ξ ,

(4)

где





 

θ θ ξ, Fo

, / ; ξ /

T x T x h



 



или

 

/ ; θ ξ, 0

/ ;

r h

T T

 

—

любое значение температуры, кроме 0 и

;



 

0 0

, 0

T T x



— начальное рас-

пределение температуры или ее постоянное значение;

ξξ

— известные

коэффициенты в уравнении (1);

 

— безразмерная зависимость внутренних

источников (стоков) энергии в теле от координаты;



— коэффи-

циенты в граничных условиях;

 

— функции времени или кон-

станты;

 

— функция координаты или константа в начальном условии;

— число Фурье;

— безразмерные координаты границ тела.