Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности в телах простой геометрической формы

4 / 17

Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1 115
     
2
2 2 2 2
2
Fo ξ μ , ξ , β 0
β n
f
P p K     (16)
— для верхнего предела интегрирования  2 ξ в зависимости от того, какой из
коэффициентов  или β отличен от нуля (если оба они отличны от нуля, то
формулы дают одинаковые результаты).
Ядро интегрального преобразования, обозначив для краткости  
μ , ξ ,
n K K 
находим из решения граничной задачи Штурма —Лиувилля:
   
2 μ ρ 0,n pK q K 
     (17)
   
1 1 1 1 ξ ξ 0, K K    (18)
   
2 2 2 2 ξ ξ 0, K K    (19)
где
   
ξξ ξ ξ p p a   и    
ξ ξ ρ ξ . q c   (20)
Представим решение уравнения (17) в виде
     
1 2 μ , ξ ψ μ , ξ φ μ , ξ ,
n n n K K B B    (21)
где  
ψ μ , ξn и  
φ μ , ξn — функции, образующие решение однородного уравне-
ния (17). Вид этих функций для некоторых частных случаев приведен в табл. 1,
а более подробные сведения о них можно найти в работе [12].
Таблица 1
Выражения для функций ψ(μ , ξ)n и (μ , ξ)n 
Форма тела и коэффициенты
в уравнении (17)
Уравнение для ядра
преобразования
 λ, ξ K
Функция
Приме-
чание  
ψ μ , ξn  
φ μ , ξn
Пластина (монолитная
или пористая):
   ρ 1, 1, 0 p q
2 μ 0 K K  cos (μξ) sin(μξ) –
Цилиндр (сплошной
или полый):
   ρ ξ, ξ, 0 p q
2 1 μ 0
ξ
K K K      
0 μξ J  
0 μξ Y –
Шар (сплошной
или полый):
  2 2 ρ ξ , ξ , 0 p q
2 2 μ 0
ξ
K K K      
0,5
0,5 ξ μξ J   
0,5
0,5 ξ μξ Y 
–
Ребро (стержень) посто-
янного поперечного се-
чения:
  
 
2
2 2 2
ρ 1, 1, ( ) ,
ω μ ( )
p q ml
ml
2 ω 0 K K 
cos(ωξ),
ch(ωξ)
sin(ωξ),
sh (ωξ)
2 ω 0,
2 ω 0