12 / 17
Алгоритм решения обобщенной задачи нестационарной теплопроводности…
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2017. № 1
123
ж т
ж
0
т
1
1
θ ξ, Fo θ Ki
1 ξ
(Biθ cosμ θ μ sinμ Ki )
Bi
n
n
n
n
2
μ Fo
2
cos μ ξ
.
μ
n
n
n
e
N
Использование этого выражения, например, для расчета температурного по-
ля водоохлаждаемой оболочки газоразрядного источника излучения [14] дает
результат, хорошо совпадающий с точным решением (52).
Уравнение (52) можно также рассматривать как решение краевой задачи, ко-
торая, в частности, достаточно близко описывает модель расчета температурного
поля смотровых окон в высокотемпературных вакуумных устройствах и сосудов из
кварцевого стекла, предназначенных для инфракрасного нагрева жидких сред в
технологии производства электронных компонентов [15]. Применимость уравне-
ния (52) для расчета температурного поля в этих примерах обеспечивается при
условии, если значение критерия
т
Ki
в нем принять равным нулю.
Еще один частный случай решения (52) связан с детально изученным в ли-
тературе примером анализа температурного поля непрозрачной пластины, одна
сторона которой теплоизолирована, а другая — нагревается конвективным по-
током горячего газа [16, 17]. В рассматриваемом случае в формулировке краевой
задачи (45)–(48) в правой части уравнения (45) свободный член должен быть
равен нулю (
л
Ki
Bu 0),
а в граничном условии (46)
т
Ki
0
— условие изоля-
ции на поверхности
1
ξ ξ 0
. Граничное условие на поверхности
2
ξ ξ 1
остается неизменным, но безразмерную температуру среды
ж
θ
целесообразно
обозначить
с
г
θ /
m
T T
, где
г
T
— температура горячего газа.
С учетом сделанных замечаний формула (52) приобретает вид
2
μ Fo
с
с
0
2
1
cos μ ξ
θ ξ, Fo θ (Biθ cosμ θ μ sinμ )
.
μ
n
n
n
n
n
n
n
e
N
(53)
Рассматривая (53) совместно с (50) и (51), находим
2
2
с
μ Fo
μ Fo
с 0
1
1
θ θ ξ, Fo
sinμ cos μ ξ
cos μ ξ
,
θ θ
μ
n
n
n
n
n
n
n n
n
e
A
e
N
(54)
где
sinμ
2 sinμ
.
μ
μ sinμ cosμ
n
n
n
n
n
n
n
A
N
Умножив числитель и знаменатель левой части (54) на
,
m
T
запишем ее в
виде формулы, приведенной в [7]:
2
г
μ Fo
г
0
1
,
cos μ
.
n
n
n
n
T T x
x
A
e
T T
h
(55)