9 / 18
где
z
j
— значения аргумента, соответствующее
j
-му моменту разрыва
функций
M
1
(
z
)
или
M
1
(
z
)
,
O
(
z
)
— величина меньшего порядка, чем
z
.
Законы изменения
α
и
γ
при оптимальном управлении определя-
ются в результате решения системы
∂H/∂α
= 0
,
∂H/∂γ
= 0
, и их
можно записать в виде
∂C
y
∂α
cos
γ
Ψ
1
+
∂C
y
∂α
sin
γ
cos
θ
Ψ
2
+
∂C
x
∂α
Ψ
0
= 0
,
tg
γ
=
Ψ
2
Ψ
1
cos
θ
.
(14)
Граничные условия для сопряженных переменных
Ψ
i
(
i
= 0
,
1
, . . .
. . . ,
5)
при
z
=
z
0
и
z
=
z
к
получим из условия трансверсальности
[19]:
I
−
Hδz
+ Ψ
0
δz
+ Ψ
1
δθ
+ Ψ
2
δε
+ Ψ
3
δρ
+ Ψ
4
δλ
+ Ψ
5
δϕ
= 0
.
(15)
Таким образом, для определения оптимальных законов изменения
управляющих параметров
α
и
γ
необходимо решить уравнения (14) с
учетом дифференциальных связей (11)–(13) и краевых условий (15).
В рамках предложенного метода применительно к широкому клас-
су задач оптимального управления КА в атмосфере можно записать
общие формулы для определения сопряженных переменных
Ψ
0
и
Ψ
4
:
Ψ
0
=
a
0
,
Ψ
4
=
a
4
.
(16)
В связи с тем, что гамильтониан
H
в явном виде не зависит от
аргумента
z
, справедливо соотношение
H
=
a
, что позволяет записать
дополнительное уравнение связи между неизвестными параметрами
движения КА и сопряженными переменными:
dθ
dz
Ψ
1
+
dε
dz
Ψ
2
+
dρ
dz
Ψ
3
+
dϕ
dz
Ψ
5
=
a
−
a
0
−
dλ
dz
a
4
.
(17)
Другие неизвестные параметры, в том числе сопряженные пере-
менные
Ψ
1
и
Ψ
2
, в явном виде влияющие на законы оптимального
управления КА, определяются в зависимости от условий поставлен-
ных вариационных задач.
Применительно к рассматриваемой задаче максимизации скорости
КА при вылете из атмосферы, что соответствует критерию оптималь-
ности
J
=
z
к
= min
, из условия трансверсальности (15) для конечной
точки траектории получим:
Ψ
0к
=
−
1
,
Ψ
2к
= Ψ
4к
= Ψ
5к
=
H
к
= 0
.
(18)
Учитывая соотношения (16)–(18), из уравнений (13) найдем реше-
ния для сопряженных переменных:
Ψ
0
≡ −
1
,
Ψ
2
≡
Ψ
4
≡
Ψ
5
≡
H
≡
0
,
Ψ
3
≡
a
3
,
Ψ
1
= Ψ
10
+
2
mβa
3
C
x
S
z
Z
z
0
cos
θdz.
12 ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение”. 2015. № 6