10 / 18
Оптимальный закон управления углом
γ
, обеспечивающий макси-
мум гамильтониана
H
, имеет вид (см. (12)):
cos
γ
=
sign
Ψ
1
,
(19)
т.е. либо
γ
= 0
при
Ψ
1
≥
0
, либо
γ
=
π
при
Ψ
1
<
0
.
Постоянную
a
3
, знаком которой определяется знак производной
сопряженной переменной
Ψ
1
, найдем из условия равенства нулю га-
мильтониана в конечной точке
a
3
=
dz
dρ
−
Ψ
1
dθ
dρ
z
=
z
к
.
Анализ динамики движения КА на участке его вылета из атмосфе-
ры показывает, что приращение угла
θ
близко к нулю, тогда как ин-
тенсивность изменения плотности атмосферы с увеличением высоты
достигает значительных величин. Это позволяет пренебречь вторым
слагаемым последнего уравнения.
Поскольку при
z
=
z
к
dz >
0
, dρ <
0
, то
a
3
<
0
и
d
Ψ
1
/dz <
0
.
Следовательно, функция
Ψ
1
(
z
)
является монотонно убывающей и
может менять знак с плюса на минус не более одного раза. Итак,
в общем случае структура оптимального управления углом крена
γ
представляет собой одноразовое переключение
γ
с 0 на
π
. При этом
принципиально возможны случаи, когда оптимальным является дви-
жение КА с постоянными значениями угла крена
γ
: либо с
γ
= 0
, либо
с
γ
=
π
.
Для нахождения оптимального закона управления параметром
α
воспользуемся условием (14). Учитывая, что
Ψ
2
≡
0
,
Ψ
0
≡ −
1
, полу-
чаем:
∂C
x
∂α
∂C
y
∂α
= cos
γ
Ψ
1
.
В частности, для зависимостей
C
x
(
α
) =
C
x
0
+
A
sin
2
(
mα
−
n
)
,
C
y
(
α
) =
C
y
0
+
B
sin(
mα
−
n
) cos (
mα
−
n
)
,
приведенных в работе [5], закон изменения
α
при оптимальном упра-
влении принимает вид
α
=
1
2
m
arctg
B
cos
γ
Ψ
1
A
+
n
m
.
(20)
Анализ данного уравнения показывает, что зависимость угла атаки
α
от аргумента
z
имеет ярко выраженный минимум
α
min
=
n/m
,
достигаемый в момент переключения угла крена
γ
. В случаях, если
γ
opt
= 0
или
γ
opt
=
π
, минимальное значение угла
α
достигается в
конечной точке траектории.
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 6 13