6 / 18
Сформулируем задачу оптимального управления КА в общем ви-
де: для процессов, описываемых системой дифференциальных урав-
нений (1), требуется определить программу управления углами
α
(
t
)
и
γ
(
t
)
, обеспечивающую экстремум функционала
J
при ограничени-
ях (2) и краевых условиях (3)–(5).
Верхняя и нижняя границы коридора входа определяются путем
итерационного поиска значений траекторных углов
θ
0
, при которых
при оптимальном управлении КА обеспечиваются заданные ограни-
чения и краевые условия.
Указанные задачи решались с помощью принципа максимума Пон-
трягина [18].
Запишем гамильтониан:
H
=
6
X
i
=1
f
i
Ψ
i
=
−
ρV
2
C
x
(
α
)
S
2
m
Ψ
1
+
+
ρV C
y
(
α
)
S
2
m
cos
γ
Ψ
2
+
ρV C
y
(
α
)
S
2
m
cos
θ
sin
γ
Ψ
3
+ Φ
,
где
Φ
— функция, не зависящая в явном виде от управляющих пара-
метров
α
и
γ
.
Сопряженные переменные имеют вид:
d
Ψ
1
dt
=
−
∂H
∂V
,
d
Ψ
2
dt
=
−
∂H
∂θ
,
d
Ψ
3
dt
=
−
∂H
∂ε
,
d
Ψ
4
dt
=
−
∂H
∂h
,
d
Ψ
5
dt
=
−
∂H
∂λ
,
d
Ψ
6
dt
=
−
∂H
∂ϕ
.
(6)
Из условия максимума гамильтониана
H
получим формулы для
определения законов оптимального управления углами крена и атаки:
γ
= arctg
Ψ
3
Ψ
2
cos
θ
,
∂C
y
/∂α
∂C
x
/∂α
=
V
Ψ
1
cos
θ
Ψ
2
cos
θ
cos
γ
+ Ψ
3
sin
γ
.
С учетом условия трансверсальности определим значения со-
пряженных переменных и гамильтониана в конечной точке траекто-
рии [19]:
Ψ
1
(
t
к
) = 1
,
Ψ
3
(
t
к
) = Ψ
5
(
t
к
) = Ψ
6
(
t
к
) =
H
(
t
к
) = 0
.
(7)
Учитывая, что в правых частях дифференциальных уравнений (1)
не содержится в явном виде переменная
λ
, получаем соотношение
d
Ψ
5
dt
=
−
∂H
∂λ
= 0
.
Сопоставляя это соотношение с условием равенства нулю сопря-
женной переменной
Ψ
5
(
t
к
)
, приходим к выводу о том, что
Ψ
5
(
t
)
≡
0
на всем участке полета КА, включая граничные точки траектории
Ψ
5
(
t
0
) = Ψ
5
(
t
к
) = 0
.
(8)
ISSN 0236-3941. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Машиностроение” 2015. № 6 9